共轭类长的算术性质对群结构的影响

钟艳林

(闽南理工学院 信息管理系，福建 泉州 362700)

在研究有限群结构的诸多方法中，通过元素的性质来刻画有限群的结构一直是令人感兴趣的问题。本文就是通过元素的共轭类长的一些算术性质来刻画有限群结构的。特别是通过有限群G的每一个素数幂阶元的共轭类长无平方因子、无p2因子和不被8整除等性质来刻画有限群的结构。

定义1［1］设G是有限群，G的所有幂零正规子群的乘积F(G)仍为G的幂零正规子群，叫做G的Fitting子群。

定义2［2］设π是素数组成的集合且G是π-可解群，如果G的每一个π-主因子都是素数阶循环群，则称G是π-超可解群。

定义3［1］设G是有限群，如果G满:∀H＜G，H＜PG(H)总是成立，则称G为PC-群，这里PG(H)=＜|

x|x∈G，＜x＞H=H＜x＞＞。

定义4［1］称有限群G为π可分群，如果存在的一个正规群列G=N0≥N1≥N2≥…≥Nr=1，使Ni/Ni+1为π群或π'群，i=01，2，…r-1。

定义5［3］设G是一个有限群，如果对G的每个素数幂阶元x，|xG|均元平方因子，则G超可解。

定义6［4］设G是有限群，Φ(G)=1，则F(G)交换且可由G的所有可解极小正规子群生成。

定义7 设G为有限群且F(G)为素数幂阶群，若G的每一个素数幂阶元的共轭类长均无平方因子，则G/F(G)循不且其阶无平方因子。

证明:设G是极小阶反例。由引理5得G是超可解的，从而G'是幂零群。又G'G，可得G≤F(G)，故G/F(G)交换。若证明了|G/F(G)|无平主因子，则G/F(G)循环。故只需证|G/F(G)|无平方因子。

由于F(G/Φ(G))=F(G)/Φ(G)，若Φ(G)＞1，则由引理5和G为极小阶反例知|G/Φ(G):F(G/Φ(G))|=|G/Φ(G):F(G)/Φ(G)|=|G/F(G)|无平方因子，矛盾。从而有Φ(G)=1，再由引理6得F(G)交换。

因为G是极小阶反例，|G/F(G)|不能是素数阶群。又G/F(G)交换，故F(G)不是G的极大子群，从而存在H G，H为G的极大子群，使得F(G)＜H＜G且|G:H|=|G/F(G):H/F(G)|=p，p为某一素数。又F(H)特征于H，H G，得F(H)G，故F(H)≤F(G)。而F(G)≤H，当然有F(G)≤F(H)。故F(H)=F(G)。

因为H G，由G是级小阶反例如|H/F(H)|=|H/F(G)|无平方因子。假设另有一素数q≠p，q‖G/F(G)‖，则类似上面的讨论，我们可以找到L G，L为G的极大子群，使得F(G)＜L＜G，F(L)=F(G)，|G:L|=q且|L/F(L)|=|L/F(G)|无平方因子，矛盾。即不存在另一素数q≠p，使得q‖G/F(G)|，故可得G/F(G)为p-群。假设F(G)为p-群，则G为p-群，从而G幂零，有G=F(G)，矛盾。故F(G)为p'-群，因为|H/F(G)|无平方因子且H/F(G)≤G/F(G)，得|H/F(G)|=p，所以|G/F(G)|=p|H/F(G)|=p2，又因为F(G)交换，由引理5可知，存在A≤G，使得G=F(G)A，其中F(G)∩A=1，|A|=p2。

［1］徐明曜.有限群导引［M］.2版.北京:科学出版社，1999.

［2］陈波，张志证.对于某些共轭类长无平方因子的有限群［J］.数学进展，2005，34(2);155-159.

［3］X Liu，Y Wang，H Wei.Notes on the length of conjugacy classes of finite gourps［J］.Appl.Algebra，2005，196(1):111-117.

［4］B Huppert.Endlie Gruppen I.Beilin，Herdelberg［M］.New York，Springer Verlag，1967.

［5］I M Isaacs Solvable groups，Character degrees and sets of primes［J］.Algebra，1968，104:209-219.

［6］B Huppert.有限群论:第1卷［M］.姜豪，李惠陵，译.福州:福建人民出版社，1992.