应用于马尔可夫链教学中的经济实例

摘要：随机过程理论在各领域中有非常广泛的应用，但长久以来，随机过程课程是一门理论性较强的专业基础课程。针对该课程应用广泛、内容抽象的特点，以马尔可夫链的教学为例，运用案例教学法，增强学生解决问题能力，进一步提高教学质量和教学效果，培养学生对该课程的学习兴趣、创新性和结合实际应用的实践性。

关键词：随机过程；马尔可夫链；案例教学法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）01-0077-03

随机过程理论在工程技术、自然科学、经济、金融、生命科学等领域中有非常广泛的应用。广东外语外贸大学自2006年成立应用数学系以来，随机过程课程就成为金融数学专业学生的必修课。它是概率论与实变函数的后续课程，具有更加实用的应用价值。马尔可夫链是一个有着广泛应用的随机过程模型，它对一个系统由一种状态转移到另一种状态的现状提出了定量分析，许多经济和社会现象中的动态系统问题都可以采用马尔可夫链来描述。由于随机过程课程本身具有概念多、理论性强、内容抽象等特点，在教学过程中出现了课时少而教学内容多的矛盾，以往的教学是以板书为主，教学方式比较单一，理论联系实际不够，学生提出课程难度大、不好理解、不知如何应用等问题，实例教学是解决这一问题的好方法。本文结合作者讲授随机过程课程的教学实践，以马尔可夫链为例，给出三个经济应用实例，供教师授课时有选择的参考和使用。

一、引言

马尔可夫链是具有马尔可夫性质的离散时间随机过程，应用于水文、气象、地震等预测研究领域，随后又被运用到经济预测和经济决策等领域，应用于研究市场、预测利润等。现在马尔可夫分析已成为市场预测的有效工具，用来预测顾客的购买行为和商品的市场占有率等。定义1：考虑只取有限个值或可数个值的随机过程{Xn，n=1，2，…}，把过程取可能值的全体称为它的状态空间，记为E。若不另外说明，这一集合将以非负整数集{0，1，2，…}来表示。若Xn=i，就说“过程在时刻n处于状态i”。假设每当过程处于状态i，则在下一个时刻将处于状态j的概率是固定的Pij。若对任意状态i0，i1，…，in-1，i，j及任意的n≥0有P（Xn+1=j|Xn=i，Xn-1=in-1，…，X1=i1，X0=i0）=Pij，这样的随机过程称为Markov链或马尔可夫链或马氏链。[1]定义2：Pij代表处于状态i的过程于下一步转移到状态j的概率。由于概率是非负的，且过程必须转移到某个状态，所以有Pij≥0，i，j≥0，■Pij=1，i=0，1，2…以P记一步转移概率Pij的矩阵，从而：

定义3：在马尔可夫链分析中，只要转移概率矩阵保持不变，当转移步数n不断增大时，转移概率矩阵P（n）的变化趋势为：■P（n）=T，T称为稳定概率矩阵。此时，存在平稳分布πi满足：

πj=■πiPij，j∈E

下面结合具体实际例子来具体阐述马尔可夫链在经济领域中的应用。

二、应用举例

例1：牛奶市场上主要有四个厂家，产品分别设为A，B，C，D。对2003年9月、10月、11月的市场调查取得关于消费者选择的原始资料，每次调查样本容量为n=1000。流动情况的调查可通过发放信息调查表来了解顾客以往的资料或将来的购买意向，也可从下一时期的订货单得出。将三组抽样调查数据分别作为第0，1，2期。利用上述方法，对市场情况进行分析和预测。

（1）马尔可夫性的说明[2]。从消费者对商品选择的心理来看市场的马尔可夫性是基本符合的。因为消费者选择商品通常依据前一期各种可选择的商品的评价，与再远期关系不大。

（2）转移概率矩阵稳定性的验证[2]。用SPSS13.0将P1与P2两转移概率矩阵元素之间进行配对样本t检验，置信区间为95%，结果如下：

由于p=0.883＞α=0.05，故不能拒绝H0即不能否定P1与P2矩阵元素对应相同的原假设，转移概率矩阵具有稳定性。

以最近的第2期市场占有率S（2）和转移概率矩阵P2为起点预测下期各品牌的市场占有率：S（3）=S（2）P2，即

=（0.182，0.154，0.122，0.542）

设市场稳定时的市场占有率为S=（S1，S2，S3，S4），则

根据矩阵运算可得：

再联立S1+S2+S3+S4=1，解得S=（0.187，0.135，0.101，0.576）

此结果表明，当达到稳定状态时，A的市场占有率为18.7%，B的市场占有率13.5%，C的市场占有率为10.1%，D的市场占有率为57.6%。

例2：市场上出售的同类产品，由于质量价格不同，以及售后服务，广告宣传的影响，商品的销售状态经常会相互转移，发生变化。如某公司产品，其销售状况经市场调查发现当本月处于畅销状态时，下月仍处于畅销状态的概率为0.52，记P11=0.52，而由畅销转为平销，滞销的概率分别为：P12=0.36，P13=0.12；当本月处于平销，下月仍处于平销的概率P22=0.44，而由平销转为畅销、滞销的概率分别为：P21=0.53，P23=0.03；当本月处于滞销，下月仍滞销的概率P33=0.22，而由滞销转为畅销、平销的概率分别为：P31=0.45，P32=0.22，将其销售状态转移情况列成下表：

由表4，得到销售状态转移矩阵

根据马尔可夫过程可知，不同时期的状态概率由状态向量?仔（i）表示，这：?仔（i）=?仔（i-1）P，P为状态转移矩阵，i=1，2，3…，n.

如上述公司产品，假设目前处于畅销状态则初始状态向量?仔（0）=(1，0，0)，以后各月产品销售状态向量：

从表中计算值可以看出，该产品最初以0.52处于畅销，0.36处于平销，0.12处于滞销，但预测以后第六个月销售状态转移为；0.5173处于畅销，0.3882处于平销，0.0945处于滞销，而随着时间i的足够大，只要状态转移矩阵不变，则状态概率趋向于一个和初始状态无关的值，并稳定下来。

设预测最终销售状态π=（x1，x2，x3）（x1=畅销，x2=平销，x3=滞销）

（x1，x2，x3）0.52 0.36 0.120.53 0.44 0.030.45 0.33 0.22=（x1，x2，x3）x1+x2+x3=1

解得：

x1=0.5173x2=0.3882x3=0.0945

即该产品最终约以51.73%的可能性处于畅销，38.82%的可能性处于平销，9.45%的可能性处于滞销。由上述计算可知，该公司的产品无论最初处于什么状态，经过时间推移，最终以51.73%可能性超过平销、滞销，而处于畅销状态。因此，该公司的该产品拥有很好的前景。

例3：某企业的产品，将销售状态分为畅销和滞销两种状态，经对市场调查得出，该产品的销售转移情况和企业利润变动分别如表5，表6。

从表5可知：产品连续畅销的概率为0.5，由畅销转为滞销概率为0.5；由滞销转为畅销的概率为0.6，由滞销转为滞销的概率为0.4。由表6可知：连续畅销企业将获利12万元，由畅销转为滞销获利4万元，以下类推。根据以上统计资料，计算各月期望利润。[3-4]

设状态1为畅销，状态2为滞销，利润变动矩阵

R=12 44 -9

状态转移概率矩阵

P=0.5 0.50.6 0.4

则当月期望利润：

畅销状态下：0.5×12+0.5×4=8（万元）

滞销状态下：0.6×4+0.4×（-9）=-1.2（万元）

用列向量表示为：Ri（1）=（8，-1.2）T，i=1，2，3

第二个月的期望利润：

PRi（1）=0.5 0.50.6 0.48-1.2=3.44.32

第三个月的期望利润：

P2Ri（1）=0.5 0.50.6 0.43.44.32=3.863.768

三、结束语

以上给出了马尔可夫链在经济生活中的三个应用实例。除上述典型应用实例外，应该看到，随着科技进步和社会发展，随机过程应用在更广泛的领域中。因此，带给教师的任务不仅仅是要传授随机过程课程中的基本理论、基本方法和简单的应用实例，还要求教师在掌握应用背景实例的前提下，激发学生学习随机过程的兴趣，培养学生运用所学理论知识去分析和解决实际问题的能力，只有这样才能培养出更多的高质量专业人才。

参考文献：

[1]柳金甫，孙洪祥，王军.应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社，2005：111-160.

[2]钟诚.马尔可夫链在市场占有率预测与决策中的应用[J].知识经济，2007，（8）：88-90.

[3]夏莉.马尔可夫链在市场经济预测中的应用[J].预测，2000，（8）：88-90.

[4]张大衡.马尔可夫链在企业经济预测上的应用[J].青岛建筑工程学院学报，2003，（3）：97-100.

作者简介：王慧蕾（1978-），女，吉林省通化市人，广东外语外贸大学任教，讲师，硕士，研究方向为随机过程应用。