论非逻辑方法中的类比与数学命题的发现论非逻辑方法中的类比与数学命题的发现

杨在荣

【摘要】类比是一种重要的非逻辑方法，通过类比可以实现思维的再创造，其过程中存在着必然的心智活动，这种心智活动能导致人们作出新的判断和预见，从而有所发现、发明和创造。本文主要论述类比与数学命题的发现及其过程中的心智活动。

【关键词】类比；非逻辑方法；发现；数学命题；心智活动

数学命题的不断发现是数学的生命力。正如美国数学家哈尔莫斯（P。R。Halmos）所说：“数学的真正组成部分是问题与解。”数学命题的发现，一方面是一个重要而又难以论述的课题，它涉及思维科学、认识论、方法论、逻辑学、心理学以及数学的思想方法等，非常令人信服的完整的论述仍然处在探索和讨论之中；另一反面，长期以来数学教科书都是按演绎逻辑的方法编写的，数学的训练也几乎都是证明、推理的逻辑训练，形成了对数学认识上的偏颇，只重视逻辑的方法。然而，对于数学的发现，非逻辑方法更为重要。正如庞加莱所说，逻辑告诉我们走这条路保证不会遇到任何障碍，但它不会告诉我们走哪一条路能达到目的。本文所论述的正是非逻辑方法中的类比与数学命题的发现及其过程中的心智活动。

一、类比与数学命题的发现

类比是根据不同的两个（或两类）对象在某些方面相同或相似，从而推出它们在其他方面也相同或相似的一种推理方法。它是一种以比较为基础的从特殊到特殊的推理，是一种合情推理，是数学命题发现的重要方法。

例1 类比勾股定理：“在△ABC中，AB⊥AC,则AB2+AC2=BC2。”

在几何学中，三角形是最基本、最重要的几何图形，构成了几何学的基础，平面几何如此，立体几何亦如此。三角形是几何图形中最简单的多边形，四面体是立体几何中最简单的多面体。另外，从图形结构上分析，三角形是连接线段外一点和线段两个端点构成的图形，四面体是连接三角形（面）外一点和三角形的三个顶点构成的图形，也就是说三角形和四面体存在相同或相似方面，互相成为类比对象，通过三角形性质的升维类比，可发现四面体的一些性质。

按类比规律，勾股定理中三角形有两条边垂直，类比到四面体中应为同一顶点的三个侧面两两互相垂直，三角形的边的长度应类比到四面体中三角形的面积，平方类比为三次方，从而得S3△ABC+S3△ABD+S3△ACD=S3△BCD，但通过检验可知，该结论是错误的，对该结论进行修正，保持勾股定理中“平方”的特点不变得到：