浅谈反比例函数有关面积问题的解题教学浅谈反比例函数有关面积问题的解题教学

徐文海

【摘要】反比例函数是初中函数部分的重要教学内容，函数题目里有一种专门的题型就是有关面积问题的：有已知，求面积；有面积，求未知；探索型面积问题等。这种题型难度相对较大，需要综合运用知识，所以在课堂教学中，教师要注重方法的传授，提高学生解答有关面积问题题目的能力。

【关键词】初中数学；反比例函数；面积

根据反比例函数的定义我们知道，如果两个变量间的关系可以表示成y=kx（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，它的图像是双曲线，可以称为“双曲线y=kx”。当k>0时，它的两个分支分别在第一象限和第三象限内无限伸展；在每一象限内，y随x值的增大而减小。当k<0时，它的两个分支分别在第二象限和第四象限内无限伸展；在每一象限内，y随x值的增大而增大。近年来，为了提高中学生综合运用数学知识的能力，反比例函数题目里往往加入有关面积问题的求解，这部分题型难度较大，笔者总结分析了这类题型的特点和出题规律，试将这类题目的解答方法介绍如下。

一、有已知，求面积

这一类题型就是给出已知的条件，或点的坐标，或函数解析式等，然后根据题意求三角形或其他形状的图形面积。

例1 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=kx与直线y=-x+(k+1)在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且S△ABO=32。

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。

分析 （1）要求函数的解析式关键是求出点A的坐标，于是设A（x,y），然后将线段OB,AB的长度表示出来，根据S△ABO=12×OB×AB=32，可以求出k=-3，从而得到反比例函数的解析式为y=-3x,一次函数的解析式为y=-x-2。

（2）求交点的坐标就是联立两个函数式y=-3x，y=-x-2，将其组成方程组，再解出方程组的解x1=-3,y1=1;x2=1,y2=-3，得到交点的坐标A(1,-3),C(-3,1)。而△AOC的面积一般不能够直接求出，而是转化为有一边在坐标轴上的三角形的面积的和或差。设直线AC与y轴交于点D，则D点坐标为(0,-2)，所以OD=2，于是△AOD和△DOC的面积之和就是△AOC的面积，S△AOC=S△AOD+S△DOC=12×2×1+12×2×3=4。

一次函数与反比例函数图像中的面积问题一般转化为三角形的面积来求，而且这样的三角形通常至少有一边在坐标轴上，三角形的高就是另一点的横坐标或纵坐标的绝对值。

二、有面积，求未知

这一类题型往往给出一个三角形的面积，而要求某个数的值，比如求k值或者解析式的值。学生可先用带有某个未知数的式子表示三角形的面积，通过面积求出未知数，从而使问题得以解决。

例2 如图，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=kx(k≠0)的图像在第一象限内有两个不同的公共点A，B。

（1）求实数k的取值范围；（2）若△AOB的面积S=24，求k的值。

分析 （1）因为Ａ，B两点是一次函数y=-x+8和反比例函数y=kx的交点，所以可以把这两个解析式结合起来组成方程组，消去y，得x2-8x+k=0，又Δ=64-4k＞0，k＜16。设两个公共交点的坐标A（x1,y1），B（x2,y2），又x1＞0，x2＞0，所以，x1+x2=8＞0，x1x2=k＞0（或者从图像可知k＞0），所以，0＜k＜16。

（2）在y=-x+8中，令x=0，得y=8，所以可以得出ＯＣ＝８，S△AOＢ=S△ＣOＢ-S△ＣOＡ=12OC?x2-12OC?x1=24，又x2-8x+k=0，用k代替里面的x1与x2等值，可以求出k=7。

这道题需要先把两个解析式组成方程组，得出一个二元一次方程，利用两个函数的交点个数确定k的取值范围。在第二问中已知△AOB的面积S=24，而△AOB可以转化成两个小三角形来表示，这样就顺利地把面积与函数联系起来，从而轻松地求出k的值。

三、关于探索型面积问题

所谓探索型面积问题是指有些题目中的已知量并不是常量，往往是一个动态变化的过程，或分成几种情况讨论，或其值为一个固定常数等。

总之，初中反比例函数有关面积问题的题目无外乎以上三种类型，当然在具体的试题当中也有许多变形和衍化，这就需要学生灵活运用，融会贯通，通过勤练习，一定能够掌握解答这类题型的方法和技巧。

【参考文献】

［1］肖建祥。浅谈反比例函数图像中的面积问题。读与写（教育教学刊），2009(3)。

［2］王涛。与反比例函数有关的面积问题解析。资治文摘(管理版)，2009(7)。