归纳猜想:获取求数列通项思路的利器

彭进喜

求数列的通项是数列中的常见题型，根本方法是利用等差数列或等比数列。接下来，举例几个已知递推公式求数列通项的题目。

例1：已知a1=1an=2an-1+1，求an。

分析：根据递推公式，不难求出a2=3，a3=7,a4=15,a5=31，于是可以猜想an=2n-1。接下来拓展思路，如果an=2n-1，则数列{an+1}就是等比数列，于是我们可以先证明数列{an+1}是等比数列。证明：∵===2为常数，∴{an+1}是等比数列，首项为2，公比为2，∴an+1=2×2n-1=2n, ∴an=2n-1。

例2：已知a1=1an=2an-1+n，求an。

分析：（过程略）根据递推公式，不难求出a2、a3、a4、a5，于是可以猜想an=2n-1+2×2n-2+…+(n-1)×2+n；根据错位相减法不难求出an=2n+1-n-2，接下来需求思路，如果an=2n+1-n-2,则数列{an+n+2}就是等比数列。于是，我们可以先证明数列{an+n+2}是等比数列。∴an=2n+1-n-2.

例3：已知a1=1an=2an-1+2n，求an。

分析：（过程略）根据递推公式，不难求出a2、a3、a4，于是可以猜想an=2n-1+(n-1)2n=(2n-1)2n-1，接下来需求思路，如果an=(2n-1)2n-1，则数列{}就是等差数列，于是我们可以先证明数列{}是等差数列。∴an=(2n-1)2n-1。

例4：已知a1=1an=2an-1+3n，求an。

分析：（过程略）根据递推公式，求出a2、a3、a4、a5，于是可以猜想：an=3n+1-2n+2，接下来需求思路，如果an=3n+1-2n+2，则数列{3n+1-an}就是等比数列，于是我们可以先证明数列{3n+1-an}是等比数列。最后得出：an=3n+1-2n+2 .

对于4个例题，可以推广到一般的情况，分别是：(1)已知a1=can=pan-1+q，其中c、p、q为常数，求an；(2)已知a1=can=pan-1+n，其中c、p为常数，求an；(3)已知a1=can=pan-1+pn，其中c、p为常数，求an；(4)已知a1=can=pan-1+qn，其中c、p、q为常数，求an。

下面仅对第一类情况进行分析说明。分析：（过程略）根据递推公式，不难求出a2、a3、a4，于是可以猜想，an=+(c-)pn-1,接下来需求思路，如果an=+(c-)pn-1，则数列{an+}就是等比数列，于是我们可以先证明数列{an+}是等比数列。最后得出：an=（c+)×pn-1+。

上面的五种情况可以概括为一种题型。已知a1=can=pan-1+f(n)，其中c、p为常数，f(n)为等差数列或者等比数列，求an。如果p=1，则直接用累加法或累乘法就可以解决，如果p≠1,则都可以用归纳猜想来获取思路，并求解。对于(4)这种类型，也可以对an=pan-1+pn的两边同时除以pn，会更加简单，对于(1)也可以用待定系数法来求解。

（乐清市柳市中学）