由数列的递推公式求通项公式

徐金庄

摘要： 数列的通项公式与递推公式是表达数列特征与构造的两种方法.高考试题中往往只给出数列的递推公式，如果能把递推公式转化为通项公式，很多问题就能迎刃而解.本文列举了六种类型的转化问题.

关键词： 数列递推公式通项公式

一、a=a+f（n）型数列

例1.在数列{a}中，a=2，a=a+2n-1，求a.

解：依题意有a-a=1，a-a=3，…，a-a=2n-3

逐项累加有a-a=1+3+…+2n-3==（n-1）=n-2n+1，从而a=n-2n+3.

二、a=a·f（n）型数列

例2. 已知数列{a}中，a=，a=·a（n≥2），求数列{a}的通项公式.

解：当n≥2时，=，=，=，…，=，将这n-1个式子累乘，得到=，从而a=×=，当n=1时，==a，所以a=.

三、a=pa+q型数列

此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解.构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设a+m=p（a+m），展开整理a=pa+pm-m，比较系数有pm-m=b，所以m=，所以a+是等比数列，公比为p，首项为a+.二是用做差法直接构造，a=pa+q，a=pa+q，两式相减有a-a=p（a-a），所以a-a是公比为p的等比数列.

例3. 在数列{a}中，a=1，当n≥2时，有a=3a+2，求{a}的通项公式.

解法1：设a+m=3（a+m），即有a=3a+2m，对比a=3a+2，得m=1，于是得a+1=3（a+1），数列{a+1}是以a+1=2为首项，以3为公比的等比数列，所以有a=2·3-1.

解法2：由已知递推式，得a=3a+2，a=3a+2，（n≥2），上述两式相减，得a-a=3（a-a），因此，数列{a-a}是以a-a=4为首项，以3为公比的等比数列.所以a-a=4·3，即3a+2-a=4·3，所以a=2·3-1.

四、a=pa+f（n）型数列（p为常数）

此类数列可变形为=+，则可用累加法求出，由此求得a.

例4.已知数列{a}满足a=1，a=3a+2，求a.

解:将已知递推式两边同除以2得=×+1，设b=，故有b+2=×（b+2），b=-2，从而a=5×3-2.

若f（n）为n的一次函数，则a加上关于n的一次函数构成一个等比数列;若f（n）为n的二次函数， 则a加上关于n的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.

例5．已知数列{a}满足a=1，当n≥2时，a=a+2n-1，求a.

解:作b=a+An+B，则a=b-An-B，a=b-A（n-1）-B代入已知递推式中得:b=b+（A+2）n+（A+B-1）.

令A+2=0A+B-1=0?圯A=-4B=6

这时b=b且b=a-4n+6

显然，b=，所以a=+4n-6.

五、a=型数列（A，B，C为非零常数）

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数，把数列的倒数看成是一个新数列，便可顺利地转化为a=pa+q型数列.

例6．已知数列{a}满足a=2，a=，求a.

解:两边取倒数得:=+，所以=+（n-1）×=，故有a=.

六、a=pa+qa型数列（p，q为常数）

这种类型的做法是用待定系数法设a-λa=χ（a-λa）构造等比数列.

例7.已知数列{a}中，a=5，a=2，a=2a+3a（n≥3），求{a}的通项公式.

解：令a+xa=y（a+xa）比较系数得y-x=2xy=3?圯x=1y=3或x=-3y=-1

所以a+a=3（a+a）及a-3a=-（a-3a）

a+a=3（a+a）=3×7

a-3a=（-1）（a-3a）=（-1）×13

由以上两式得

4a=3×7+（-1）×13

所以数列的通项公式是a=［3×7+（-1）×13 ］

例8.已知数列{a}中，a=1，a=2，a=a+a，求数列{a}的通项公式.

解：在a=a+a两边减去a得a-a=-（a-a）

∴{a-a}是以a-a=1为首项，以-为公比的等比数列，

∴a-a=（-）

令上式n=1，2，3，…，（n-1），再把n-1个等式累加得:

a-a=1+（-）+（-）+…+（-）==［1-（-）］

∴a=1+［1-（-）］