一类条件极值的解法研究一类条件极值的解法研究

胥红星

【摘要】研究多元函数的极值问题，针对一类具体类型的问题，结合实例，给出了具体的简化计算方法。

【关键词】条件极值；拉格朗日乘数；高等数学

对于多元函数的极值问题，在高等数学中利用函数以及导数的性质得到更为充分的研究。极值求解一般分为两类，在求解多元函数无条件极值时，我们只需根据函数的驻点来判断极值的存在性，在条件极值的求解时，我们可以利用拉格朗日乘数法获得极值的存在性，无论哪种方法，在实际的应用中，我们都要根据数学的灵活性，尽可能使问题简化，以提高解题的准确性，避免方法的生搬硬套。

一、问题的提出

人大版《微积分》练习中存在这样一个问题：

例1 求抛物线y2=4x上的点，使它与直线x-y+4=0的距离最小。

在参考书中给出如下解法:

设抛物线任意一点为(x,y)，利用点到直线的距离公式r=|x-y+4|2，由于绝对值不能求导，提出r和r2具有相同的极值点，考察了r2在条件y2=4x下的极值问题。利用拉格朗日乘数法。

令F=(x-y+4)22+λ(y2-4x)。

由F′ x=x-y+4-4λ=0,

F′ y=y-x-4+2λy=0,

F′ λ=y2-4x=0，

得x=1,

y=2。

即抛物线y2=4x上的点(1,2)距直线x-y+4=0最近。

在刘玉琏版的数学分析中也出现类似问题，参考书均是上述方法利用r2研究了r的极值的存在性，显然这种方法的实际计算过程是较为复杂的。下面我们给出该问题的简单方法。

二、问题的简化

数学知识点是相互联系的，题目的解法具有很强的灵活性，由线性规划可知在直线x-y+4=0上方的点有x-y+4>0，直线下方的点有x-y+4<0，而直线上本身的点满足x-y+4=0。通过分析不难发现，抛物线y2=4x位于直线的下方，故r=y-x-42。

令F=y-x-42+λ(y2-4x)。

由F′ x=-12-4λ=0,

F′ y=12+2λy=0,

F′ λ=y2-4x=0，得x=1,

y=2。

即抛物线上点(1,2)到直线距离最近。显然，该方程组更容易求解，从而使问题得以简化。

类似椭圆上、双曲线上的一点到某一直线的距离的最大值或最小值均可归结为类似问题。利用线性规划，我们只需判定图形位于直线的上方或者下方即可根据拉格朗日乘数法设计有效的表达式，从而迅速解决该类问题。

三、实例分析

例2 在椭圆x2+4y2=6上求一点，使到2x+3y-6=0的距离最远。

解 通过分析可知，椭圆位于直线的下方，根据拉格朗日乘数法可设

F=6-3y-2x13+λ(x2+4y2-4)。

令F′ x=-213+2λx=0,

F′ y=-313+8λy=0,

F′ λ=x2+4y2-4=0。

可得稳定点85,35,-85,-35，可判定点-85,-35到直线距离最远。

显然，该方法在实际计算中更易计算。

【参考文献】

［1］赵树嫄。微积分。北京：中国人民大学出版社，2007。

［2］王丽燕，梁平，秦禹春。微积分全程学习指导。大连：大连理工大学出版社，2008。

［3］刘玉琏，傅沛仁。数学分析讲义：下册。北京:高等教育出版社,2003。