反例在数学教学中的运用

杨昌海

摘要： 本文主要探讨反例在中学数学教学中的作用及反例的构造法等.在数学中利用反例可以有效地激发学生的求知欲，通过反例能使学生加深对基础知识的理解，反例不仅有助于学生全面正确地理解、掌握数学的基本概念和基本定理，而且是纠正错误、发现问题的重要途径.通过反例的构造可以培养学生的发散性思维和创造性思维.

关键词： 反例中学数学教学运用

一、反例在数学教学中的作用

1.反例是强化概念的有力工具，也可以深化学生对知识的理解.

在中学数学教学中，教师不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，弥补正面教学的不足，从而加深学生对知识的理解，给他们留下深刻的印象.例如：中学数学中函数的单调性，数列极限的运算法则，复数等概念和运算法则，等等.对于初学者来说，对它们的理解常常模糊不清，在讲授这些知识的时候，如果从正面论述，则同学们对它们的理解并不深刻.如果配合一些反例说明，效果就不一样了.

例1：若a=A，b=B，则（a+b）=A+B，反之是否成立？

分析：反之不成立.若直接说明不好入手，而举出反例来说明，就能使学生记忆深刻.例如：a=+n，b=-n，显然（a+b）存在，但a和b均不存在.

2.反例是帮助掌握定理、公式和法则的得力措施.

例2：二项式定理的学习中，初学者只习惯于记住通项公式T=Cxa对于形如（3a-4b）的式子，认为它的第四项系数是C，而实际上是C3·（-4）.

例3：在平面几何中，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这条定理，“平行”二字往往容易被忽略.可举一反例，如图四边形ABCD中，两对角线AC⊥BD，但它显然不是菱形，这样就可以让学生理解到定理中的“平行”二字的重要性.

3.反例是否定一个命题的重要方法.

前面我们已知，一个命题的反例起着否定这个命题的作用，数学史上曾出现过许多著名的反例.

例4：法国数学家费尔马于1640年前后在验算了形如F=2+1的数，当n=0，1，2，3，4的值分别为3，5，17，257，65537后便宣称：对于n为任何0或正整数时，F=2+1是素数.大约过了一百年，即1732年数学家欧拉找到一个反例：F=2+1=641×6700417，从而否定了费尔马的上述猜想.

4.反例是驳斥谬论、揭露诡辩、修正错误的重要手段，有助于正确掌握题解方法.

面对一个问题的解答，运用反例可以检验答案是否正确，如果发现不对，就会引导我们去追寻问题错误的所在.

例5：若方程x+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，求实数m的取值范围.

解：∵x＞2，x＞2，Δ≥0，∴x+x=-（m-2）＞4，

∴m＜-2；xx=5-m＞4，即m＜1，（m-2）-4（5-m）＞0，∴m≥4或m≤-4，故m≤-4.

粗略地看，这个解答是对的.若取m=-5代入则原方程为x-7x+10=0它的一个根为2，则与题意不相符.由此反例可知解法有错误，仔细分析可知x＞2x＞2与x+x＞4xx＞4两式并不等价，满足前者虽能满足后者，但是满足后者的并不能满足前者.正确的解法略，答案为-5＜m≤-4.

5.反例可以提高解题的速度.

凡是从正面肯定不易而从反面否定较易的选择题，可以通过反例来解决.

例6：条件A：=≠；条件B：直线AX+BY+C=0，AX+BY+C=0平行，那么，A是B的（ ）条件.

A.充分非必要 B.必要非充分

C.充要 D.既不充分又不必要

一般人都认为C是正确的，但是通过反例，例如：L：2x+1=0，L：2x+5=0；L与L显然平行，但=≠，故答案为A.

二、如何构造反例

当要判断一个命题是否正确而又不能从正面证明它的时候，很自然会想到它可能不正确，试着去构造一个反例.所谓构造反例，就是要找出满足题设又使结论不成立的情形，在很多情况下，反例并不像前面例子那样，可以信手拈来，有的甚至十分困难.为此，这里谈谈构造反例的常用方法.

先把满足题设的所有情况适当地进行分类，然后逐类考察，仔细判定结论在所考察的情况下是否成立，由此找出结论不成立的情形，即可求得反例.一般对满足题设的所有情况进行分类时，宜采用二分法，即把满足题设的所有情况分为两类，使其中一类具有某种属性，而另一类不具有这种属性.如果第一类情况能使结论成立，则考察第二类情况.必要时，可把第二类情况再分类进行考察，直到找出反例为止.

例7：下列命题是否正确？若正确请给予证明，否则举出反例.

若P、Q是直线L同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过点P、Q且和直线L相切.

解：依题设，P、Q两点与直线L的位置关系可分为两类：（1）P、Q的连线与L相交；（2）P、Q的连线与L平行，分别考察在这两类情况下结论是否成立，易发现这些（2）中，即PQ∥L时，通过P、Q且与L相切的圆只有一个，于是便可求得反例.