二次函数模型的巧用

马应库

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解．进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图像以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习．

一、“二次”的应用

函数、方程、不等式三者，在一定条件下可以相互联系. 函数是研究ｙ与x之间的对应关系，而方程则是求x取何值时，函数值恰好为零；不等式就是考察x的值在什么范围变化时，函数值为正或负. 当a ≠ 0时，方程ax2 + bx + c = 0的解就是二次函数y = ax2 + bx + c的图像与x轴交点的横坐标；不等式ax2 + bx + c > 0（或ax2 + bx + c < 0）的解集就是二次函数y = ax2 + bx + c的图像中位于x轴上方（或下方）部分的点的横坐标x的取值范围，所以说函数、方程、不等式是一个问题的三个方面，它们又统一在函数之中.

1. 在解方程和不等式中的应用

例１ （２００７贵州省贵阳）二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：

（１）写出方程ax2 + bx + c = 0的两个根．

（２）写出不等式ax2 + bx + c > 0的解集．

（３）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.

（４）若方程ax2 + bx + c = k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

答案 （１）x1 = 1，x2 = 3.（２）1 < x < 3.（３）x > 2.（４）k < 2.

例２ （２００８年安徽省）如图为二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ的图像，在下列说法中：

① ａｃ ＜ ０；

②方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０的根是

ｘ１ ＝ －１，ｘ２ ＝ ３

③ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＞ ０

④当ｘ ＞ １时，ｙ随ｘ的增大而增大.

正确的说法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （把正确的答案的序号都填在横线上）

答案 正确的说法有：①②④.

２. 在解方程组的应用

例３ （２００７甘肃陇南）如图，抛物线y = ■x2 + mx + n交x轴于Ａ，Ｂ两点，交y轴于点Ｃ，点Ｐ是它的顶点，点Ａ的横坐标是-３，点Ｂ的横坐标是１．

（１）求m，n的值；

（２）求直线ＰＣ的解析式；

解 （１）由已知条件可知： 抛物线y = ■x2 + mx + n经过Ａ（－３，０）、Ｂ（１，０）两点．

∴ ０ ＝ ■ － ３ｍ ＋ ｎ，０ ＝ ■ ＋ ｍ ＋ ｎ．，解得ｍ ＝ １，ｎ ＝ -■．

（２）∵ y = ■x2 + x - ■，∴ Ｐ（－１，－２），Ｃ０，－■．

设直线ＰＣ的解析式是ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ，则－２ ＝ －ｋ ＋ ｂ，ｂ ＝ －■．

解得ｋ ＝■，ｂ ＝ －■．

∴ 直线ＰＣ的解析式是y = ■x - ■．

从以上解题可以看出，求两个图像的交点坐标，一般方法是把两函数的解析式联立成方程组，求出方程组的解，就是它们的交点坐标；反之，图像交点的坐标，也就是方程组的解. 因此，在研究二次函数的问题时，必须让学生熟练掌握方程组的解法，明确函数、方程（组）的密切联系．

二、联系实际，综合运用

新课程标准，对学生能力的培养提出了较高要求，特别强调学生运用所学数学知识，解决现代社会实际问题的能力. 为了考查学生的能力，许多地方近几年的中考数学试题，解法灵活，思路开阔，不拘泥于旧的框框套套，能很好地考查学生综合运用知识的能力．

１． 在实际生活中的应用

例４ （２００７兰州市）某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙（墙足够长），另外的部分用３０米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形（如上左图）；②围成一个半圆形（如上右图）．设矩形的面积为Ｓ１平方米，宽为ｘ米，半圆形的面积为Ｓ２平方米，半径为ｒ米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案（π ≈ ３）．

解 Ｓ１ ＝ ｘ（３０ － ２ｘ） ＝ －２ｘ２ ＋ ３０ｘ ＝ －２ｘ － ■２ ＋ ■.

当ｘ ＝ ■米时，Ｓ１取最大值■平方米.

由３０ ＝ πｒ得ｒ ＝ １０米.

Ｓ２ ＝ ■πｒ２ ＝ ■ × ３ × １００ ＝ １５０平方米.

∵ ■ ＜ １５０，∴ Ｓ１ ＜ Ｓ２，

∴ 应选择方案②.

从以上可以看出，把实际问题归结为二次函数问题，关键是从实际生活中获取必要的信息，将内在的本质联系挖掘出来，抽象处理有关信息，建立函数模型，利用函数知识来解决问题. 特别注意，利用函数解决实际问题时，自变量的取值范围必须要明确．

２． 与几何有关的应用

例５ （２００９兰州市）如图①，正方形 ＡＢＣＤ中，点Ａ，Ｂ的坐标分别为（0，10），（8，4），点Ｃ在第一象限．动点Ｐ在正方形ＡＢＣＤ的边上，从点Ａ出发沿Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ匀速运动，同时动点Ｑ以相同速度在ｘ轴正半轴上运动，当Ｐ点到达Ｄ点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为ｔ秒．

（１）当Ｐ点在边ＡＢ上运动时，点Ｑ的横坐标x（长度单位）关于运动时间ｔ（秒）的函数图像如图②所示，请写出点Ｑ开始运动时的坐标及点Ｐ运动速度；

（２）求正方形边长及顶点Ｃ的坐标；

（３）在（１）中当ｔ为何值时，△ＯＰＱ的面积最大，并求此时Ｐ点的坐标；

（４）如果点Ｐ，Ｑ保持原速度不变，当点Ｐ沿Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ匀速运动时，ＯＰ与ＰＱ能否相等，若能，写出所有符合条件的ｔ的值；若不能，请说明理由．

解 （１）Q（１，０），点Ｐ运动速度每秒钟１个单位长度.

（２） 过点B作ＢＦ⊥ｙ轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF ＝ ８，OF = BE = 4．

∴AF = 10 - 4 = 6，在Ｒｔ△ＡＦＢ中，AB = ■ = 10 过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H．

∵ ∠ABC = 90°，AB = BC，

∴△ＡＢＦ ≌ △ＢＣＨ．

∴ BH = AF = 6，CH = BF = 8．

∴ ＯＧ ＝ ＦＨ ＝ ８ ＋ ６ ＝ １４，ＣＧ ＝ ８ ＋ ４ ＝ １２．

∴ 所求Ｃ点的坐标为（１４，１２）．

（３）过点Ｐ作ＰＭ⊥ｙ轴于点Ｍ，ＰＮ⊥x轴于点Ｎ，

则△ＡＰＭ∽△ＡＢＦ．

∴ ■ = ■ = ■． ∴ ■ = ■ = ■．

∴ AM = ■t，PM = ■t.

∴ PN = OM = 10 -■t，ON = PM = ■t ．

设△ＯＰＱ的面积为S（平方单位）.

∴ Ｓ ＝ ■ × １０ － ■ｔ（１ ＋ ｔ） = 5 + ■t - ■t2（０ ≤ t ≤ １０）.

∵ a = -■ ＜ ０，

∴当t = -■ = ■时， △ＯＰＱ的面积最大．

此时Ｐ的坐标为 ■，■ ．

（４）当t = ■或t = ■时， ＯＰ与ＰＱ相等．

与几何有关的二次函数问题，首先要利用几何知识，推出已知、未知之间的函数关系，然后利用函数知识解决. 注意：此类问题，一定要求出自变量的取值范围．

近几年来，中考有关二次函数的命题，在注重教材知识的基础上，大量增加了知识综合运用，即增加了研究性课题，开放性问题，贴近社会生产、生活实际问题的试题等. 这就要求师生在二次函数的复习中，要抓双基，忌抓难题、怪题，要从本质上发现数学知识间的内在联系，通过分类、整理、综合、构造，形成一个知识结构系统. 在解题时，从题目提供相关的信息来进行最佳组合，促进解题过程的优化.