浅谈初中数学教学中的创造性学习

杨兴梅

【摘要】 在初中数学教学中，要变“教”为“导”，营造一种生动活泼的教学气氛. 要充分利用学生的新奇感，引导学生观察，鼓励学生联想，进行创造性学习.

【关键词】 数学教学；创造性学习

当前改革发展素质教育，强调对学生的创新能力和创新精神的培养，数学教育改革之一在于引导学生进行创造性学习. 要想让学生学好数学，想要有一理想的教育效果，中学数学教育就必须引导学生进行创造性学习，以下是在教学中引导学生进行创造性学习的一点做法.

一、变“教”为“导”，营造一种生动活泼的教学气氛. 把学生引入到“设境——探究——分析——发现——解决”的主动学习过程中去

例如：证明两线段或两角相等的过程中，有这样一道题：

例1 已知：⊙Ｏ，⊙Ｏ′交于Ｐ，Ｑ两点，过Ｐ点作直线ＡＰＢ，ＣＰＤ分别交⊙Ｏ于Ａ，Ｃ，交⊙Ｏ′于Ｂ，Ｄ，且∠ＡＰＱ ＝ ∠ＤＰＱ，求证：ＡＢ ＝ ＣＤ.

分析Ⅰ 就现有图形来看，无任何三角形可供利用，故应设法添置辅助线，以ＡＢ，ＣＤ为对应边构造出全等三角形，并且使这两个三角形与已知条件有充分的联系，自然想到利用两圆的另一交点Ｑ，连接ＱＡ，ＱＢ，ＱＣ，ＱＤ，要证ＡＢ ＝ ＣＤ，只须证△ＱＡＢ ≌ △ＱＣＤ. 很容易发现∠ＱＡＢ ＝ ∠ＱＣＤ，∠ＱＢＡ ＝ ∠ＱＤＣ. 于是只须证ＱＡ ＝ ＱＣ（或ＱＢ ＝ ＱＤ），连接ＡＣ，只须证∠ＱＡＣ ＝ ∠ＱＣＡ就可以了，因为∠ＱＡＣ ＝ ∠ＱＰＤ，∠ＱＣＡ ＝ ∠ＱＰＡ，因而只要∠ＱＰＤ ＝ ∠ＱＰＡ就行了，这恰与已知条件相吻合，故命题得证.

证明 （如图１）连接ＱＡ，ＱＢ，ＱＣ，ＱＤ，ＡＣ.

∠ＱＰＤ ＝ ∠ＱＰＡ∠ＱＡＣ ＝ ∠ＱＰＤ∠ＱＣＡ ＝ ∠ＱＰＡ

?圯∠ＱＡＣ ＝ ∠ＱＣＡ，ＱＡ ＝ ＱＣ

又∵∠ＰＡＱ ＝ ∠ＰＣＱ

∠Ｂ ＝ ∠D

?圯△ＱＡＢ ≌ △ＱＣＤ?圯ＡＢ ＝ ＣＤ.

分析Ⅱ 因为ＡＢ，ＣＤ各与两圆的弦长有关，考虑到垂径定理和等量的同分量相等，自然会将矛盾转化为ＡＢ ＝ ＣＤ ?圯 ＥＦ ＝ ＧＨ（图２），仍然看不出ＥＦ，ＧＨ之间关系的原因，是因为它们所处的位置不利，若分别将它们平移到ＯＭ和Ｏ′Ｎ，只须证明Ｒｔ △ＯＭＯ′ ≌ Ｒｔ△Ｏ′ＮＯ就够了，因为ＯＯ′为共用斜边，故只须证∠ＯＯ′Ｍ ＝ ∠Ｏ′ＯＮ就行了，再联系到已知的∠ＱＰＡ ＝ ∠ＱＰＤ及Ｏ，Ｋ，Ｐ，Ｇ和Ｏ′，Ｋ，Ｐ，Ｈ分别共圆，问题就解决了.

证明 （如图２）Ｏ′，Ｋ，Ｐ，Ｈ和Ｏ，Ｋ，Ｐ，Ｇ分别共圆.

∠Ｏ′ＯＮ ＝ ∠ＱＰＤ∠ＯＯ′Ｍ ＝ ∠ＱＰＡ∠ＱＰＡ ＝ ∠ＱＰＤ

?圯 ∠Ｏ′ＯＮ ＝ ∠ＯＯ′Ｍ∠Ｏ′ＮＯ ＝ ∠ＯＭＯ′ ＝ ９０°ＯＯ′ ＝ ＯＯ′

?圯 Ｒｔ△Ｏ′ＮＯ ≌ Ｒｔ△ＯＭＯ′?圯 ＯＭ ＝ Ｏ′Ｎ ?圯 ＥＦ ＝ ＧＨ ?圯 ＡＢ ＝ ＣＤ.

二、在教育教学中，发现学生有一种新奇感，并且对新东西善于联想，是进行“创造性学习”的好素材

如：证一线段为另一线段的２倍，可证长线的一半等于短线，或证短线的２倍等于长线.

例：三角形任一顶点至垂心的距离，等于外心至对边的距离的二倍. 针对这个问题，可以拓展学生思维，通过逻辑因果关系的分析，来改善学生的思维空间，实现学生认知能力的飞跃和突破，从而促进学生想象能力的不断增长.

例2 已知：Ｈ是△ＡＢＣ的垂心，Ｏ是外心，ＯＬ⊥ＢＣ于Ｌ. 求证：ＡＨ ＝ ２ＯＬ.

分析Ⅰ 作直径ＢＤ，则ＯＬ的２倍为ＣＤ（即ＯＬ ＝ ■ＣＤ），那么只须证ＡＨ ＝ ＣＤ即可，因ＡＨ，ＣＤ均垂直于ＢＣ，故平行，若再得ＡＤ∥ＨＣ即可. 不难发现它们都垂直于ＡＢ，故四边形ＡＤＣＨ为平行四边形，∴ ＡＨ ＝ ＣＤ ＝ ２ＯＬ.

证明 （如图３）作直径ＢＤ，连接ＡＤ，ＣＤ，则２ＯＬ ＝ ＤＣ.

∴ ＡＤ⊥ＡＢ，ＤＣ⊥ＢＣ.

∵ Ｈ是△ＡＢＣ的垂心，

∴ ＣＨ⊥ＡＢ，ＡＨ⊥ＢＣ.

∵ ＡＤ∥ＣＨ，ＣＤ∥ＡＨ，

∴ 四边形ＡＨＣＤ是平行四边形，

∴ ＡＨ ＝ ＣＤ，∴ ２ＯＬ ＝ ＡＨ，即ＡＨ ＝ ２ＯＬ.

分析Ⅱ 作△ＡＣＨ的中位线，把ＡＨ折半为ＭＮ，只须证ＭＮ ＝ ＯＬ即可. 因ＯＬ，ＭＮ都垂直于ＢＣ，故平行可转证ＯＭ与ＬＮ也平行，由平行四边形的对边相等确定ＯＬ ＝ ＭＮ. 由垂心、外心和中位线的性质，ＯＭ∥ＢＨ∥ＬＮ即可得证.

证明 （如图４）作△ＡＣＨ的中位线ＭＮ，连接ＯＭ，ＬＮ,.

∴ ＭＮ∥ＡＨ，且ＭＮ ＝ ■ＡＨ.

又∵点Ｏ是外心，点Ｈ是垂心，

∴ ＡＨ∥ＯＬ，ＢＨ∥ＬＮ∥ＯＭ（ＢＨ⊥ＡＣ，ＯＭ⊥ＡＣ），

∴ 四边形ＯＬＮＭ是平行四边形，

∴ ＯＬ ＝ ＭＮ，∴ ＡＨ ＝ ２ＯＬ.

分析Ⅲ 若取ＡＨ的中点Ｅ，只要证ＥＨ ＝ ＯＬ就行了，这可以构造全等三角形来证明，取ＢＨ的中点Ｆ，ＡＣ的中点Ｍ，连ＥＦ，ＯＭ，ＬＭ，则得△ＨＥＦ和△ＯＬＭ的对应边互相平行，且ＥＦ ＝ ＬＭ，所以全等. 所以ＡＨ ＝ ２ＥＨ ＝ ２ＯＬ.

证明 （如图５）取ＡＨ的中点Ｅ，ＢＨ的中点Ｆ，ＡＣ的中点Ｍ，连接ＥＦ，ＯＭ，ＬＭ.

∴ ＥＦ∥ＡＢ且 ＥＦ ＝ ■ＡＢ，ＭＬ∥Ｂ 且ＭＬ ＝ ■ＡＢ，即ＥＦ∥ＭＬ，且ＥＦ ＝ ＭＬ .

又∵点Ｏ是外心，点Ｈ是垂心，

∴ ＢＨ⊥ＡＣ，ＯＭ⊥ＡＣ，ＡＨ⊥ＢＣ，ＯＬ⊥ＢＣ，

∴ ＦＨ∥ＭＯ，ＥＨ∥ＬＯ，

∴ ∠ＦＥＨ ＝ ∠ＭＬＯ，∠ＥＦＨ ＝ ∠ＬＭＯ.

在△ＨＥＦ和△ＯＬＭ中，

∠ＦＥＨ＝∠ＭＬＯ，ＥＦ＝ ＭＬ，∠ＥＦＨ ＝ ∠ＬＭＯ.

∴ △ＨＥＦ ≌ △ＯＬＭ（ＡＳＡ），∴ ＥＨ ＝ ＯＬ，∴ ＡＨ ＝ ２ＯＬ.

三、引导观察，启发想象

在教育过程中引导学生对所学内容进行全面、深入、正确的认识，可以让学生在观察中获得新的发现，从而进行“创造性学习”. 而创造离不开想象，必须想方设法采用一切可能去培养学生的想象能力，从而为学生的创造打下优良基础，在教学设计中，可以通过学生进行一系列具有逻辑因果关系的想象活动的训练，来改善学生的思维空间，实现认知能力的飞跃和突破，从而促进学生想象能力的不断增长，这样就能让学生顺利展开“创造性学习”，有助于提高分析问题、解决问题的能力.

例3 ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，■ = ■，ＢＥ和ＡＤ交于Ｅ，求证：ＡＥ ＝ ＢＥ（图６）

分析Ⅰ 如图７，连接ＡＢ，ＡＣ，由ＢＣ为⊙Ｏ的直径可推出∠ ＝ ９０°，即∠ＢＡＥ ＋ ∠ＥＡＣ ＝ ９０°. 由ＡＤ⊥ＢＣ，可得∠Ｃ ＋ ∠ＥＡＣ ＝ ９０°，即可得到∠ＢＡＥ ＝ ∠Ｃ，又由已知的■ = ■可推出∠ＡＢＥ ＝ ∠Ｃ，这样即可得到∠ＡＢＥ ＝ ∠ＢＡＥ，即结论成立.

证明 略.

分析Ⅱ 如图８，连接ＡＢ，ＦＣ，由ＡＤ⊥ＢＣ，可得∠ＥＤＢ ＝ ９０°，由ＢＣ为⊙Ｏ的直径，可推出∠ＢＦＣ ＝ ９０°，即∠ＥＤＢ ＝ ∠ＢＦＣ. 观察图中得∠ＥＢＤ ＝ ∠ＦＢＣ，即可得出△ＢＥＤ ∽ △ＢＣＦ，于是得∠ＢＥＤ ＝ ∠Ｃ. 观察图中得∠ＢＥＤ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ ∠ＡＢＥ，∠Ｃ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ ∠ＡＢＥ，由结合图得∠Ｃ ＝ ２■ = ■∠ＡＢＥ，所以∠ＡＢＥ ＝ ∠ＢＡＥ得ＡＥ ＝ ＢＥ.

证明 略.

分析Ⅲ 如图９，连接ＡＢ，ＯＡ，由已知■ = ■， 可推出ＯＡ平分ＢＦ，且经过圆心Ｏ，于是ＯＡ⊥ＢＦ，即∠ＡＥＦ ＋ ∠ＯＡＥ ＝ ９０°，又由ＡＤ⊥ＢＣ，可得∠ＢＥＤ ＋ ∠ＥＢＤ ＝ ９０°. 观察图中可得∠ＡＥＦ ＝ ∠ＢＥＤ，从而可得∠ＯＡＥ ＝ ∠ＥＢＤ①. 由图中得ＯＡ ＝ ＯＢ，所以∠ＯＡＢ ＝ ∠ＯＢＡ②，② － ①，得∠ＯＡＢ － ∠ＯＡＥ ＝ ∠ＯＢＡ － ∠ＥＢＤ，即∠ＢＡＥ ＝ ∠ＡＢＥ，于是得结论ＡＥ ＝ ＢＥ.

分析Ⅳ 如图１０，连接ＡＢ，并将半圆Ｏ画成整圆，延长ＡＤ交辅助半圆于点Ｍ，由已知的ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ，可推出■ = ■，而■ = ■是已知的，所以可由■ = ■推出∠ＢＡＥ ＝ ∠ＡＢＥ，从而结论成立.

证明 略.

题目还可变为“ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，■ = ■，ＢＦ和ＡＤ交于Ｅ，求证：（１）ＡＦ２ ＝ ＢＥ·ＢＦ；（２）若ＢＤ ＝ １，ＡＤ ＝ ２，求ｔａｎ∠ＤＢＥ的值；（３）求证：ＢＦ ＝ ２ＡＤ”等进行观察，启发想象.

总之，“创造性学习”的形式多种多样，除了以上的方法，还可以在教学中根据不同气氛，不同形式采用不同的方法进行创造性学习.