一类非线性SEIR模型平衡点的存在性

张辉 李应岐 赵伟舟

【摘要】研究了一类具有一般形式非线性发生率g（S）h（I）的SEIR传染病模型平衡点的存在性问题，利用隐函数存在定理和拉格朗日中值定理证明了当R0>1时存在唯一地方病平衡点，当R0≤1时不存在地方病平衡点.

【关键词】非线性发生率；基本再生数；平衡点

【中图分类号】O175.13

1.基本模型

将总人口分为四类：易感者S、潜伏者E、染病者I和移出者R.现建立S和I具有一般形式非线性发生率g（S）h（I）的SEIR传染病模型

S′=Λ-g（S）h（I）-μS，E′=g（S）h（I）-（μ+ε）E，I′=εE-（μ+α+γ）I，R′=γI-μR.（1）

其中，Λ为人口常数输入率，μ为自然死亡率，1[]ε为E的平均潜伏期，α为I的因病死亡率，γ为I的移出率，以上参数均为正数.根据传染机制，函数g（S）和h（I）满足

1）g（0）=h（0）=0；

2）g′（0）≥0，当S>0时，g′（S）>0；

3）当I≥0时，h′（I）>0，h″（I）≤0.

于是，G=（S，E，I，R）∈R4+0≤S+E+I+R≤Λμ是系统（1）的一个正向不变紧集.

定义系统（1）的基本再生数为

R0=ε（μ+ε）（μ+α+γ）gΛμh′（0）.

2.平衡点的存在性

易得系统（1）必存在唯一无病平衡点

P0=Λμ，0，0，0.

定理1 当R0>1时，系统（1）在G内存在唯一地方病平衡点P*.

证明 记直线q1：

Λ-μS=（μ+ε）（μ+α+γ）εI，

曲线q2：

g（S）h（I）=（μ+ε）（μ+α+γ）εI.（2）

因g′（S）>0，S>0，由隐函数存在定理，（2）式唯一确定一个连续函数

S=S（I）=g-1（μ+ε）（μ+α+γ）ε·Ih（I）.

设曲线q2与S轴的交点为（0，S1），如图1所示.

图1 直线q1和曲は遯2的图像

当R0>1时，有

g（Λμ）>（μ+ε）（μ+α+γ）ε·1h′（0）.

此时

S1=limI→0g-1（μ+ε）（μ+α+γ）ε·Ih（I）=g-1（μ+ε）（μ+α+γ）ε·1h′（0）<Λμ.

则q1和q2在第一象限内至少有一交点.即系统（1）在G内存在地方病平衡点P*，不妨记为P*=（S*，E*，I*，R*）.

下面证明P*的唯一性.

设（I0，S0）为曲线段S=S（I），0

h′（I1）=h（I0）-h（0）I0-0=h（I0）I0=（μ+ε）（μ+α+γ）εg（S0）.

由h″（I）≤0，I≥0，得h′（I1）≥h′（I0）.

则

g（S0）h′（I0）≤（μ+ε）（μ+α+γ）ε.

由点（I0，S0）的任意性，当0

g[S（I）]h′（I）≤（μ+ε）（μ+α+γ）ε.

对于（2）式，两边对于I求导得

g′（S）dSdIh（I）+g（S）h′（I）=（μ+ε）（μ+α+γ）ε，

即

dSdI=（μ+ε）（μ+α+γ）ε-g（S）h′（I）g′（S）h（I）≥0.

则S=S（I）在区间（0，I*]内单调递增.即q1和q2在第一象限内只有一个交点.故当R0>1时，系统（1）存在唯一地方病平衡点P*.

定理2 当R0≤1时，系统（1）不存在地方病平衡点.

证明 当R0≤1时，有

g（Λμ）≤（μ+ε）（μ+α+γ）εh′（0），

则

S1=g-1（μ+ε）（μ+α+γ）ε·1h′（0）≥Λμ.

又S=S（I）单调递增，则q1和q2在第一象限内无交点.故当R0≤1时，系统（1）不存在地方病平衡点.