初中数学思维转换能力的培养

刘继宏

【摘要】 同学们在解决数学问题的时候，一定遇到过这样的情况：有一些题目，与我们头脑中形成类型的解题模式不同. 这时，我们必须摆脱惯用的思考方法、解题步骤的束缚，改变解题的思路方向，寻找新的途径. 这种方法上的转变反映了数学思维的灵活性，这就是思维转换能力. 思维转换降低了解题的难度，提高了解题速度和解题能力.

思维转换能力是数学能力对思维品质提出的要求. 转换能力就是从一种心理运算转变为另一种心理运算. 一些题目与头脑中形成类型的解题模式不同时，必须摆脱惯用的思考方法、解题步骤的束缚，改变解题的思路方向，寻找新的途径. 这种方法上的转变反映了数学思维的灵活性. 如果新的方法独特简便，解题思路新颖，则表现为某种程度的创造性.

例 ａ，ｂ，ｃ，ｄ均为正整数，求证：存在一个三角形，其三边之长分别为

分析 若用三角形三边关系证明， 显然很困难. 考虑到可看作以ｂ，ｃ为直角边的直角三角形的斜边， 类似的，可看作以（ａ ＋ ｂ）和ｄ为直角边的直角三角形的斜边， 可看作以ａ和（ｃ ＋ ｄ）为直角边的直角三角形的斜边. 我们构造出如图1的矩形，显然△ＣＥＦ的三边即为题中的三个式子.

思维转换降低了解题的难度，提高了解题速度和解题能力. 培养思维转换能力应从以下几方面入手：

一、广泛联想

联想是从一事物想到另一事物的心理过程，按联想的方向途径来分，有以下几种：

１. 接近联想

根据问题中的某一方面与已经熟悉的问题的某些方面比较接近而引起的联想. 例如解方程组 += a， = b，可联想方程组x + y = m，xy = n的解法.

２. 类比联想

根据问题与某一问题相似性而展开的联想. 例如，已知ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ２Ａ ＝ １，求证：ｃｏｓ２Ａ ＋ ｃｏｓ４Ａ ＝ １. 启发学生观察已知条件与关系式ｓｉｎ２Ａ ＋ ｃｏｓ２Ａ ＝ １相似，可得解法.

∵ ｓｉｎ Ａ ＝ １ － sｉｎ２Ａ ＝ ｃｏｓ２Ａ，

∴ ｃｏｓ２Ａ ＋ cos４Ａ ＝ ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ２Ａ ＝ １.

３. 逆向联想

数学中的逆定理的发现和存在，启发人们一种聪明的思维方法——逆向联想. 这种思维是学习和研究数学不可少的重要思维方式，然而不少学生对显而易见的逆向思维问题看不出来. 例如对于式子（x ＋ ２）（x２ － ２x ＋ ４）常逐项相乘，不知它就是立方和公式的逆用. 在教学中注意引导学生认识其间的可逆关系，不但可以加深对知识的理解，而且会提高应用时的灵活性、深刻性. 例如：若方程x２ ＋ ４ｍｘ － ４ｍ ＋ ３ ＝ ０，x２ ＋ ２ｍｘ － ２ｍ ＝ ０，x２ ＋ （ｍ － １）ｘ ＋ ｍ２ ＝ ０中至少有一个方程有实数根，求实数ｍ的范围. 注意这里的关键词语“至少”，它包含三层意思：三个方程都有实根；其中两个方程有实根；其中一个方程有实根. 逐次讨论ｍ的范围是十分复杂的，于是引导学生考虑“至少”的反面是什么？学生很容易答出“三个方程均无实根”，因而由三个判别式都小于零，得到不等式组，并解得－ ＜ ｍ ＜ －１，所以当 － ＜ ｍ ＜ －１时，三个方程均无实根. 当ｍ ≤ －或ｍ ≥ －１时，三个方程中至少有一个方程有实根.

二、推广引申

１. 把条件开拓引申

条件在命题中居于主导地位，结论是条件决定的. 条件改变了，结论可能随之变化. 改变条件有两种：

（1）把特殊条件一般化

放宽对条件的限制，从而推得更为普遍性的结论. 例如切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等. 若把条件中的“两条切线”减弱为“一条切线和一条割线”就得到“切割线定理”；如果再减弱为“两条割线”就得到“割线定理”.

（2）把一般条件特殊化

把条件加强来研究会有什么变化，从而获得新的结论. 例如：顺次连接任意四边形四边的中点，所得四边形为平行四边形. 把任意四边形这个条件加强为平行四边形、矩形、菱形、正方形，又会得出什么结论呢？

２. 把命题的结论推广、引申，使命题深化

如“顺次连接任意四边形四边的中点，所得四边形为平行四边形，其周长之和等于原四边形对角线之和”. 又如“三角形中位线定理”可引申为“以三条中位线为边的三角形面积是原三角形面积的四分之一”.

３. 把题型推广、引申

同一命题给予不同的提法，就可以变成不同的题型，但其证法相同或类似，谓之“多题一解”. 如命题“四个连续自然数之积再加一，是一个完全平方数”推广引申为

“ 是整数（ｎ为自然数）. ”

４. 把证明方法推广引申

一个命题从不同角度考虑，可以有不同的思路，不同的证法，谓之“一题多解”. 例如：证明定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

分析一 要证明ＣＤ ＝ ＡＢ，只要证ＣＤ ＝ ＢＤ，即只要证Ｄ在ＢＣ的垂直平分线上.

方法一：作ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，只要证ＢＥ ＝ ＣＥ.

∵ ＤＥ∥ＡＣ，ＡＤ ＝ ＢＤ，

∴ ＢＥ ＝ ＣＥ（如图2）.

∴ CD = BD = AB.

方法二：取ＢＣ中点Ｅ，连接ＤＥ，

由三角形中位线定理，得ＤＥ∥ＡＣ，

又∵∠ＡＣＢ ＝ ９０°，

∴ ＤＥ⊥ＢＣ（如图2）.

∴ CD = BD = AB.

分析二 要证ＡＢ ＝ ２ＣＤ，延长ＣＤ到Ｅ，使ＤＥ ＝ ＣＤ.

∵对角线互相平分的四边形ＡＣＢＥ为平行四边形，且∠ＡＣＢ ＝ ９０°，

∴ ＡＣＢＥ为矩形，

∴ ＡＢ ＝ ＣＥ，

∴ ＣＤ ＝ ＣＥ ＝ ＡＢ（如图3）.

分析三 找出等于ＡＢ的线段，连接ＡＣ与ＢＣ的中点Ｅ，Ｆ，则ＥＦ等于ＡＢ，可证ＣＥＤＦ为矩形.

∴ ＣＤ ＝ ＥＦ ＝ ＡＢ（如图4）.

分析四 找一线段等于ＡＢ，再证ＣＤ为这一线段的即可.

延长ＢＣ到Ｅ，使ＣＥ ＝ ＢＣ，连接ＡＥ，

由三角形中位线定理知，ＣＤ ＝ ＡＥ.

又 ∵ Ｒｔ△ＡＢＣ ≌ Ｒｔ△ＡＥＣ，

∴ ＡＥ ＝ ＡＢ，

∴ ＣＤ ＝ ＡＥ ＝ ＡＢ（如图5）.

通过一题多解的训练，能够开阔思路，增强综合运用数学知识的能力，调动学生学习的积极性.

５. 把条件和结论交换或部分交换或等价交换，推广引申新的命题

例如平行线的性质定理“两直线平行，同位角相等（内错角相等，同旁内角互补）”，把条件和结论交换，就得到平行线的判定定理. 又如垂直定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧”，把条件或结论中的部分交换就可推出垂径定理的推论.

推广引申是一种较高的要求. 它有利于培养学生的发散思维能力，是培养发现、发明创造能力的有效途径.

三、转换化归

转换化归的思维，反映了数学思维最本质的特征. 它渗透到各个方面，如“形”与“数”的转换，“已知”与“未知”的转换，实际问题与数学问题的转换等. 运用转换化归的思想改变问题的形式，使条件与结论之间的逻辑关系明朗化、简单化. 观察、联想、类比是实现化归的根本途径，变换、转化是化归思想的实质. 学生一旦形成了自觉化归意识，就可熟练地、巧妙地作各种转化，化繁为简，化隐为显，化难为简，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体等. 例如，把减法运算转化为加法运算；把异分母分式转化为同分母分式；把一元一次方程通过去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数，最后转化为最简方程 x ＝ ａ；将多元方程组转化为一元方程组；将高次方程化为低次方程；将无理方程化为有理方程等. 又如在平面几何中，三角形是基本图形，四边形或多边形的问题多半要转化为三角形来解决.

在数学活动中，思维转换能力是逻辑推理能力的重要部分. 在教学中，应根据教材特点，不失时机地培养学生这一方面的能力.