对2011年广东高考文科数学试卷第18题的解法研究与思考

焦晓东

【摘要】文章提供了对第18题的不同解法，通过对解法的比较，论述了几何与代数解法的优劣，肯定了该题对高中立体几何教学的导向，提出了对教材的编写思考以及对该题的改编思考.

【关键词】广东高考；文科数学；解法；思考

一、问题的提出

图1

2011年广东高考文科数学试卷第18题原题：如图1所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A，A′，B，B′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点，O1，O′1，O2，O′2分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点.

（1）证明：O′1，A′，O2，B四点共面;

（2）设G为AA′中点，延长A′O′1到H′，使得O′1H′1=A′O′1，证明：BO′2⊥平面H′B′G.

二、解法分析

解决几何问题，一般有几何解法与代数解法两种方法.要证O′1，A′，O2，B四点共面，利用几何解法应证：①O′1A′∥O2B或②A′BO′1O2相交；利用代数解法应证：O′1A′∥O2B.要证BO′2⊥平面H′B′G，几何解法应证明直线BO2与平面H′B′G内的两条相交直线垂直；利用代数解法应证：BO2·H′B=0，BO2·H′B′=0.具体解答如下：

引理在凸四边形中，如果这个四边形的面积等于两条对角线积的一半，则对角线相互垂直.

图8

已知：S四边形ABCD=12·AC·BD，求证：AC⊥BD.

证明如图8，假设AB与CD不垂直，则过点A作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E，F，则

S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD

三、相关的思考

1倍愿锰饨夥ǖ乃伎

代数解法思维容量少，运算量也不大.几何解法要添加一定的辅助线，还要比较多的推理论证.因此，代数解法显然优于几何解法.

那么我们的思考是：是否可以互相取代呢？如果可以互相取代，从减轻学生负担这一点说就完全可是二选一了.大家知道，代数研究的对象，要远远超过几何研究的对象，故是否就可以只学代数而不学几何呢？答案显然是否定的，几何在培养学生的空间想象能力方面有其不可替代的作用，所以去掉几何显然不可取.但随着科技的进步，特别是三维动画技术的运用，对立体几何的要求有所降低，故在新课标中降低几何的要求显然是符合实际的，该题的导向功能也是良好的.

2倍越滩谋嘈吹乃伎

新课程教材中文科教材为什么没有编写代数解法？而实际上对文科学生的空间想象能力的要求要低于理科学生.怎么样去体现这个差异呢？笔者认为运用代数方法解决立体几何问题是最好的解决方案.遗憾的是文科教材没有涉及代数解法，反而理科教材有更多的要求，这是为什么？以后再编写时是否可以适当增加代数解法呢？

3倍愿锰獾母谋嗨伎

该题涉及字母多，阅读量大，学生笔误很多，是否可以向较易与较难两个方面改进呢？

（1）减小难度的改编

若改为：将圆柱体改为长方体进行切割平移，而其他条件与结论不变，显然难度降低不少.

（2）增加难度的改编

图11

若改为：如图11，P1为O1H′1中点，过点P1作垂直于O′1A′的平面切割圆柱后平移得到.①证明：O′1，A′，B，P2四点共面；②G在O1O′1上，且O′1G=14O1O′1，求证：BP′2⊥平面H′B′G.

若再改为：P1为线段O1H′1上的点，且H′P1=mnH′A′，过点P1作垂直于O′1A′的平面切割圆柱后平移得到.①证明：O′1，A′，B，P2四点共面；②若O′1G=mnO′1O1（m,n∈N+，且m

上述两种改编难度将会增加不少.

总之，本小题主要考查空间想象、推理论证和抽象概括能力，以及化归与转化的数学思想方法.考查线线关系和线面关系，线线共面的判定定理，四点共面的判定，线面垂直的判定和性质，圆柱体的性质和平移等基础知识.对中学立体几何教学有良好的导向作用.但本题给学生的感觉是复杂的：点多，又要切割圆柱体，再平移，所以会给学生导向很难；此题不好表达，有些结论很简单，具体因为什么，说不好，故而导致选拔的功能有所减弱.因此在以后的选拔考试中如何命出更好的具有良好区分度的题又是一个值得研究的课题.

【参考文献】

［1］严士健，等.普通高中数学课程标准(实验)解读［M］.南京：江苏教育出版社，2004.

［2］李建华，等.普通高中课程标准实验教科书《数学》(必修)［M］.北京：人民教育出版社,2007.

［3］2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲说明（广东卷）.广东教育考试院，2011.

［4］2011年高校招生考试新课程考试大纲(理科数学).教育部考试中心，2011.

［5］刘邵学，章建跃.几何中的向量方法［J］.数学通报，2009（6）.