利用“必要条件”解数学题

付宇富

我们在解数学题时经常用到“充要条件”（即等价转化）与“充分条件”（即由条件得结论），但却很少注重“必要条件”的应用，本文旨在通过几例说明“必要条件”在解题中的应用. 一、先求出使得命题成立的“必要条件”，再由题设进一步求出使得命题成立的“充要条件”，从而解决问题

例１ 已知ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x，是否存在实数ｐ，ｑ，使得ｆ（ｘ）的定义域为［ｐ，ｑ］，值域为［2p，2q］？若存在，求出ｐ，ｑ的值.若不存在，说明理由.

分析 按常规解法，要分如下四种情况进行讨论：①区间［ｐ，ｑ］在对称轴ｘ ＝ １的左边；②区间在对称轴［ｐ，ｑ］的对称轴ｘ ＝ １的右边；③对称轴ｘ ＝ １在区间［ｐ，ｑ］内，而且１ － ｐ < ｑ － １；④对称轴ｘ ＝ １在区间［ｐ，ｑ］内，而且１ － ｐ ＞ ｑ － １． 此解法繁索，详解略．

解 下面先求出使命题成立的必要条件：因为在实数范围内，ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x的最大值为■，由题意，2q ≤ ■，∴ q ≤ ■（此为命题成立的必要条件），

又∵ ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x的图像的对称轴为x = 1，

∴ q ≤ ■ < 1.

∵ ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x在区间［ｐ，ｑ］上递增，

∴ ｆ（ｐ） ＝ ２ｐ，ｆ（ｑ） ＝ ２ｑ，即－■p2 + p = 2p，－■q2 + q = 2q.

∵ p < ｑ，∴解得ｐ ＝ －２，ｑ ＝ ０（此为充要条件），

∴存在ｐ ＝ －２，q = 0满足题意．

评注 本题巧解的关键是先求出使命题成立的必要条件q ≤ ■，从而避免了繁琐的讨论.

例２ 解不等式：■ < ■.

解析 乍一看来，解这个不等式似乎很难下手，但若先求出使得这个不等式成立的“必要条件”，即使得不等式中的式子都有意义的x的取值范围：x - 1 > 0且x - 1 ≠ 1，■ > 0且■ ≠ 1， 即x > 1且x ≠ 2（此为不等式成立的必要条件），问题就好解决了. 以下分两种情况讨论：

①当１ ＜ ｘ ＜ ２时，ｌｏｇ２（ｘ － １） ＜ ０，log2■ ＞ ０，

∴ 原不等式成立．

②当ｘ ＞ ２时，ｌｏｇ２（ｘ － １） > 0，log2■ > 0，∴原不等式?圳log2■< loｇ２（ｘ － １）?圳 ０ ＜ ■ ＜ ｘ － １ ?圳 ｘ２ － ３ｘ ＞ ０ ?圳 ｘ ＞ ３或ｘ ＜ ０，∴ x > 3.

综 上，原不等式的解集为｛x|1 < x < 2或x > 3｝（充要条件）.

二、直接应用“必要条件”解决问题

例３ 函数ｆ（ｘ） = ■是 （ ）.

Ａ． 偶函数 Ｂ． 奇函数

Ｃ． 非奇非偶函数Ｄ． 既是奇函数又是偶函数

解析 首先考虑函数既是奇函数又是偶函数的定义域是否关于原点对称，而原函数的定义域须满足cos x + sin x + 1 ≠ 0，解得定义域为｛x|x ≠ 2kπ + ■且x ≠ 2kπ +π，k∈Z｝，而此定义域不关于原点对称，∴ 选C.

例４ 设θ∈（0，■），则二次曲线x2cos θ - y2 tan θ = 1的离心率的取值范围是 （ ）.

Ａ． （0，■） Ｂ． （■，■）

Ｃ． （■，■）Ｄ． （■，+∞）

解析 ∵此二次曲线为双曲线，其离心率的范围须先满足必要条件：离心率e > 1，结合被选答案的范围以及数学选择题只有唯一答案，应选Ｄ.