利用二次函数讨论与一元二次方程的实根有关的问题

林铁峰

摘要： 函数是高中阶段数学学习的核心内容，而作为函数当中的代表，二次函数在高中数学的地位更是重中之重，二次函数与一元二次方程及一元二次不等式这三个二次式间的关系十分密切，本文从二次函数与一元二次方程的关系这一层面，向读者阐述了它们的关系，希望收到以点代面的效果.

关键词： 二次函数一元二次方程实根

对于一元二次方程y=ax■+bx+c的根的个数问题，我们立即会想到方程对应的判别式△=b■-4ac的便利性.当△>0时，方程有两实根；当△=0时，方程有一实根；当△<0时，方程没有实根.当然对于根的求解我们还有公式：x■=■.此外我们也常用配方法或十字相乘法解决根的求解问题.其中韦达定理的使用频率也很高.但是随着学习的深入，我们却发现，只有上面的一些知识显然不能解决与一元二次方程相关的更多问题，而此时，在复习中我们学习了一元二次方程，一元二次不等式，二次函数三者之间的关系，从而加深了对此类问题的认识.本文结合二次函数的图像与性质，讨论一元二次方程的一类问题，即根的分布问题.

例1.已知二次函数f（x）=ax■-（a+2）x+1，

（1）若方程ax■-（a+2）x+1=0的两根皆正根；

（2）若方程ax■-（a+2）x+1=0的两根一正一负；

（3）若函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，求实数a的取值范围.

解析：（1）由函数的图像及韦达定理得：方程ax■-（a+2）x+1=0中△=a■+4>0

所以，设方程的两根为：x■，x■，则x■+x■=■>0x■x■=■，得：a>0.

（2）（法一）同理可得：x■x■=■<0，得a<0.

（法二）由函数图像得，当函数图像开口向上时，因为f（0）=1>0，由图像得若方程的两实根一正一负，则有a<0.

（3）∵f（x）=ax■-（a+2）x+1，

△=（a+2）■-4a=a■+4>0，

∴函数f（x）=ax■-（a+2）x+1必有两个不同的零点，因此f（-2）f（-1）<0，

∴（6a+5）（2a+3）<0，∴-■

对于上题，若把题目改为：“若方程ax■-（a+2）x+1=0的两根一个大于3，一个小于3.”结合图像可得，当函数f（x）=ax■-（a+2）x+1的图像开口向上时，只需f（3）<0；当函数f（x）=ax■-（a+2）x+1的图像开口向下时，只需f（3）>0；故可求得a的取值范围是（-■，0）∪（0，■）.图像的魅力一览无余.

上题为方程的根分布在一个数的两侧时的情况，若改为同一侧呢？

例2.已知方程x■+2mx-m+12=0的两个根都大于2，求实数m的取值范围.

解析：令f（x）=x■+2mx-m+12，

由方程的两个根都大于2，则-m>2f（2）>0△=4m■+4，m-12≥0

解得-■

下面来看看此类问题的应用.

例3.已知f（x）=-3x■+a（6-a）x+b.若方程f（x）=0有一根小于1，另一根大于1，当b>-6且b为常数时，求实数a的取值范围.

解：∵-3<0，由图知，只需f（1）>0便可满足题意.

∴-3+a（6-a）+b>0？圯a■-6a+3-b<0？圯3-■

从以上问题我们可以发现，如果我们能用函数的图像来研究一元二次方程的根的一些问题，那么这些问题的解决就会更加便捷.数学家华罗庚说过：数缺形时少自觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔断分家万事非.这话说得非常有道理.