深入思考追踪溯源 发挥最大教学效能

于妍秋

【摘要】教师应该站在数学系统知识的基础上，高广角、高站位地指导教学.

【关键词】一题多解;普遍联系;系统源头オ

数学教学中，若想最大限度地发挥教学效能，前提条件是必须要有教师的深入思考，教师应该站在数学系统知识的基础上，高广角、高站位地指导教学.本文从一道题目的多种解法入手，深入思考其数学本质，追踪其系统源头，希望能带给读者以教学启示.

一、一道题目多种解法的探究

图 1题目 如图1，在玆t△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为线段BC上一点，分别过点B，C作直线AP的垂线，垂足分别为点D，E.求证：AD－BD=2CE.

分析 我们可以直接从结论入手分析，将三条线段的关系转化为两条线段的关系，称之为“直接法”，也可以将结论进行适当的变形和改造，称之为“改造结论法”，下面从这两个方向对此题的解法进行探究.

解法一 直接法（截长法）

图 2ト缤2，在AD上截取AM=BD，连接CM,CD，易证△ACM≌△CDB，可证明△CMD为等腰直角三角形，MD=2CE，从而证明AD－BD=2CE.

解法二 直接法（截长法）

图 3如图3，在DA上截取DM=BD，连接CD,BM，易证△ABM∽△CBD，AM=2CD=2CE，从而证明AD－〣D=2CE.

解法三 直接法（补短法）

图 4如图4，延长DB至M，使得BM=2CE，连接CD，AM，可证明△ACD∽△ABM，∠AMＤ=∠ADC=45°，AD=DB+BM=DB+2CE，从而证明AD－BD=2CE.

解法四 直接法（补短法）

图 5如图5，延长BD至M，使得DM=2CE，连接MD、CM.作CH⊥MD，得MH=HD=CE，易证△ACD≌△BCM，AD=BM，从而证明AD－BD=2CE.

解法五 改造结论法（要证明AD－BD=2CE，只需证明AD－〤E=狟D+CE）.

图 6如图6，作CM∥AD，交BD延长线于M.易证△ACE≌△BCM，CM=DE=CE=DM，AE=BM，AE=AD－〥E=狝D－CE，BM=BD+DM=BD+CE，AD－CE=BD+CE，从而证明〢D－狟D=2CE.

二、深入思考其数学本质

以上给出了此题目的五种解法，深入思考其数学本质会发现，相对显性的数学本质是五种解法都是利用了截长或补短的方法建构三条线段之间的关系，相对隐性的数学本质是在一些方法中，都因为题设中具有AC=BC的条件，使得此题目可以通过旋转的方式加以呈现和解决.

△ACM≌△CBD

△ABC为等腰三角形△ACE≌△CBM

△ABC为等腰三角形△AKM≌△CMJ

△AMC为等腰三角形オオ

如解法一中，△CDB可以看作由△ACM绕点C逆时针旋转90°得到；解法五中，△CBM可以看作由△CAE绕点C逆时针旋转90°得到；解法七中，△CMJ可以看作由△AMK绕点M顺时针旋转90°得到等.如果教师在教学中能够发现知识间的普遍联系性，就会培养学生逐步学会知识建构的基本方法和策略，这对于学生而言是终身受益的，它的教学效能远远超过一道题目本身的价值.

三、追踪其系统源头

这道题目的源头是阿基米德折弦定理，回顾一下定理内容及其证明方法.

已知：如图7，A，B，C，D四点共圆，AC=BC，CE⊥AD于点E.求证：AE=BD+DE.

图 7 图 8 图 9オオ

证明 如图8，延长BD，过点C作CM⊥BD于点M，连接CD，易证△ACE≌△BＣＭ，△CDE≌△ＣDＭ，从而证明〢E=狟M=BD+DM=BD+DE.

阿基米德折弦定理是我们前面探究题目的一般情况，如果将弦AB变成直径，如图9所示，可以迅速得到结论〢E=狟D+DE，此时让我们证明前面探究题目的结论是不是易如反掌呢？

对问题进行发散思维，深入研究，追根溯源，是一名数学教师提升专业素养的必由之路.此种思想只有在平时的教学实践中进行有意识的锻炼，才能内化为专业知识结构的一部分，才能自如运用于今后的教学之中.