高等数学与初等数学相关内容的比对

杜慧娟

摘 要 高等数学与初等数学教材内容的有效衔接问题，是切实提高高等院校高等数学课程教学质量的关键问题之一。本文对高等数学与初等数学教材中有关“函数与极限”、“导数与微分”等内容及教学要求进行了比对，并给出了解决这些问题的一些建议。

关键词 高等数学 初等数学 教材内容 比对 衔接

中图分类号：G642 文献标识码：A

Comparison between the Content of Higher

Mathematics and Elementary Mathematics

DU Huijuan

(School of Software, East China Normal University, Shanghai 200062)

Abstract Effective convergence of higher mathematics and elementary mathematics teaching materials, is one of the key issues to effectively improve the quality of teaching of higher mathematics courses learning. Content and teaching requirements of the higher mathematics and elementary mathematics textbooks "function and limit", "derivative and differential", and gives some suggestions to solve these problems.

Key words higher mathematics; elementary mathematics; teaching materials; comparison

经过调研了解到，2003年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后，新出版的高中教材与以前的教材相比，一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系，高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。但是，大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题。这些问题影响了大学数学课程的教学质量，对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。高等数学与初等数学教材内容的有效衔接亟待解决。

1 “函数与极限”的衔接

函数，是高中数学的重点内容，高考要求较高，学生掌握也比较牢固。高等数学教材中的这部分内容基本相同，但内涵更丰富，难度也提高了。

（1）函数概念：在原有内容中，增加了几个在高等数学中经常用到的实例，如取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数、符号函数等。因此，在学习中，函数概念部分可以简略，重点学习这几个特殊函数即可。

（2）初等函数：反三角函数要求提高，新增加了“双曲函数”和“反双曲函数”等内容。反三角函数的概念在高中已学过，但高中对此内容要求较低，只要求学生会用反三角函数表示“非特殊角”即可。而高等函数中要求较高，此处在学习中应补充有关内容：在复习概念的基础上，要求学生熟悉其图像和性质，以达到灵活应用的目的。新增加的“双曲函数”和“反双曲函数”在高等数学中经常用到，故应特别注意。

（3）函数极限：“数列极限的定义”，高中教材用的是描述性定义，而高等数学重用的是“”定义，此处是学生在高等数学的学习中遇到的第一个比较难理解的概念，因此在教学中应注意加强引导，避免影响函数极限后面内容的学习。新增内容“收敛数列的性质”虽是新增内容，但比较容易理解和掌握，教学正常安排即可。“极限四则运算”处增加了“两个重要极限”，要加强有关内容的学习。

2 “导数与微分” 的衔接

高中新教材中的一元函数微积分的部分内容，是根据高等数学内容学习需要所添加，目的是加强高中数学与高等数学的联系，让中学生初步了解微积分的思想。

（1）导数的定义：高中数学和高等数学教材中，这一内容是相同的，不同的是学习要求。高中数学要求：了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的概念和导数的几何意义；理解导函数的概念。也就是说，尽管极限与导数在高中已经学过，但主要是介绍概念和求法,对概念的深入理解不作要求。到了大学，概念上似懂非懂、不会灵活运用，成了夹生饭。但高等数学要求学生掌握并熟练应用，这是高等数学的一个重要内容，在此处应用举例增加了利用“两个重要极限”解题的例题，在教学中应给与足够的重视。

（2）导数的运算：高中新课标教材要求较低：根据导数的定义会求简单函数的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数导数。重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。

高等数学教学大纲对这部分内容要求：掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；掌握初等函数的一、二阶导数的求法，会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；了解微分的概念与四则运算。

建议：高中学过的仅仅是该内容的基础，因此需重新学习已学过的内容，为本节后面更深更难的内容打好基础。

（3）导数的应用：高中新教材中仅是借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，并通过实际的背景和具体应用事例引导学生经历由函数增长到函数减少的过程，使学生了解函数的单调性，极值与导数的关系，要求结合函数图像，知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的最大最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用。

高等数学对这部分内容的处理是：先介绍三个微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式，然后严格证明函数的单调性和曲线的凹凸性，给出函数的极值、最值的严格定义，及函数在一点取得极值的必要条件和充分条件。在此基础上，讨论求最大最小值的应用问题，以及用导数描绘函数图形的方法步骤。

建议：由以上分析比较可知，高中数学所涉及的一元微分学虽然内容差别不大，但内容体系框架有很大差异，高等数学知识更系统，逻辑更严谨。学习要求上，对于导数的几何意义，导数的四则运算法则及简单函数的一阶导数，利用导数判断函数单调性和求函数极值都是高中数学课程标准中要求的重点，是重点强化训练的知识点。而在高等数学教学中建议一点而过，教学重点应放在用微分中值定理证明函数单调性的判定定理、函数极值点的第一、二充分条件定理以及曲线的凹凸性、拐点等内容上。

以上主要分析比较了高中数学与高等数学的重复知识点。除此之外，二者之间以及高等数学与后继课程之间还存在着知识“断裂带”。

3 高中数学与高等数学知识的“断裂带”

高考对平面解析几何中的极坐标内容不做要求，鉴于此这部分知识在高中大多是不讲的；而在大学教材中，极坐标知识是作为已知知识直接应用的，如在一元函数微分学的应用中求曲率，以及定积分的应用中求平面图形的面积等。建议在相应的地方补充讲解极坐标知识。

初等数学与高等数学除了在教材内容上的衔接外，在学习思想和方法等方面的衔接也都是值得研究的课题。学生刚开始学习高等数学，不能很好地衔接，教师在教学中要注意放慢速度，帮助学生熟悉高等数学教与学的方法，搞好接轨。首先要正确处理新与旧的关系，在备课时，了解中学有关知识的地位与作用及与高等数学知识内在的密切联系，对教材做恰当的处理；上课时教师要经常注意联旧引新，运用类比，使学生在旧知识的基础上获得新知识。

总之，努力探索搞好初等数学和高等数学学习衔接问题，是学好高等数学的关键之一。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系主编.高等数学（第五版 上册）.北京:高等教育出版社,2005.

[2] 人民教育出版社中学数学室编著.数学（全日制普通高级中学教科书）.北京:人民教育出版社,2006.