创设情境教学余弦定理

韩朝海

摘要：余弦定理具有一定广泛的应用价值，教學中我们从实际需要出发创设情境。

关键词：余弦定理；解三角形；数学情境

“余弦定理”作为高中数学的主要内容，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓。它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题等他数学问题以及解决生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

一、设计思路

布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

依据建构主义学说，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。我采用“情境—问题”教学模式，以“设置情境—提出问题—解决问题—反思应用”为主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境—问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”。

二、教学过程

1．设置情境

自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度，已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。

2.启发思考

能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）

在三角形ABC，已知AB＝1.95m，AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°＝66°，求BC的长。这个问题的实质是在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。

（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

3．解决问题

我们以前遇到这种一般问题时，是从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。据此可先在直角三角形中试探一下：直角三角形中c2=a2+b2（勾股定理，角C为直角）斜三角形ABC中，过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）

讨论：在锐角三角形ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC，CD＝ACcosC，即AD＝bsinC，CD＝bcosC。

又BD＝BC－CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

在钝角三角形ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π－C），CD＝ACcos（π－C），即AD＝bsinC，CD＝－bcosC，又BD＝BC＋CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB

同理可证a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

4．反思应用

余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，那么余弦定理能够解决哪些问题？

知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。

请同学们用余弦定理解决开始提出的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）

解：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA

＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40cos66°20′

＝3.571

∴BC≈1.89（m）

答：顶杆BC约长1.89m。

三、教学反思

教学时，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。