基础选拔并重 平稳创新共求——2011年浙江省各地区数学中考压轴题解读

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(温州市第十七中学 浙江温州 325000)

基础选拔并重平稳创新共求
——2011年浙江省各地区数学中考压轴题解读

●叶茂恒

(温州市第十七中学 浙江温州 325000)

综观2011年浙江省各地中考压轴题，在保持平稳风格基础上略有变化.主要突出在对考生双基与数学思维能力考查的同时，着重考查了灵活运用数学知识分析和解决问题的能力，注重方法与过程，关注学生基本活动经验，以及对数学思想方法的理解和掌握.大部分试题背景公平，有利于学生展示学习成就，能有效考查学生的数学基本功、观察力、想象力及综合分析能力.

1 试题结构平稳，注重双基，兼顾选拔功能

2011年的中考压轴题在题型与结构上没有太大的变化，一般以三问为主：一问基础；二问提高；三问综合探究.不同水平学生可以取得不同的分值，能有效地区分学生的数学水平，做到基础与选拔兼顾.其中的第(3)小题往往是难度最大的问题，也是重点中学选拔的题眼.这也是全国各地中考数学压轴题的常用范式.

图1

例1已知2条直线l1，l2分别经过点A(1，0)，点B(-3,0)，并且当2条直线同时相交于y轴正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A，B，C的抛物线的对称轴与直线l1,l2交于点K，E,如图1所示.

(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

(2)抛物线的对称轴被直线l1、抛物线、直线l2和x轴依次截得3条线段，问这3条线段有何数量关系？请说明理由；

(3)当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标.

(2011年浙江省衢州市数学中考试题)

KD=DE=EF.

评注本题分3个小题，低起点、高落点，问题层次鲜明.其中第(1)小题中构建母子相似三角形基本图形，考查了学生的识图能力与相似三角形的性质或勾股定理的应用，是大部分学生所熟练掌握的基础知识的应用.第(2)小题入口较宽，可以利用代数方法，分别求得l1与l2的解析式，结合对称轴方程求得点K，E的坐标，再求KD，DE，EF的线段长来判断三者的数量关系.也可以利用KF∥OC，EF∥OC，利用三角形相似或三角函数得EF，KF或KE等线段的长来解决问题.在此小题中,不管是偏几何或是偏代数的学生都可以找到适合自身思维特性的解决方案.相对于一些只能用几何法或代数法解决的问题,在公平性方面要处理得较好一些.第(3)小题等价于在抛物线上寻找点M使以点M，K，C为顶点的三角形为等腰三角形的探究，主要涉及分类讨论思想.由于等腰三角形的分类讨论较为常见，难度不会过大，因此试题编制较为合理.

2 试题载体统一，动态探究，展现思维过程

2011年的压轴题主流仍以动态问题为载体，省内各地市数学中考试卷最后一题都涉及到动点或动线或动形，这些压轴题将动态元素与变量相结合，考查几何与代数综合分析的能力.在解答过程中展现学生数学思维过程，了解学生的基本活动经验，考查学生常用的数学思想方法，如常见的分类思想、方程函数思想、数形结合思想等等.

例2已知直线y=kx+3(klt;0)分别交x轴、y轴于点A，B，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

(1)当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动(如图2)．

①直接写出t=1秒时点C，Q的坐标；

②若以Q，C，A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

①求CD的长；

②设△COD的边OC上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

(2011年浙江省嘉兴、舟山市数学中考试题)

图2 图3

评注本题分2个小题，调整直线斜率k得到直线的2种情况，构造了2类特殊的直角三角形(一为等腰直角三角形，二为边之比为3∶4∶5的三角形)，整个试题架构在这2个特殊三角形之上.初看试题,似乎题中含有多个变参(k,m,n)，与以往单动点或单变量的试题有所改变.但细探之下，可以发现题中以点P为主动点，第(1)小题中点Q随着点P动，第(2)小题中点C(控制m,n)也是随着点P而动，因此问题核心还是近年常见的动点问题.第(1)小题考查学生已熟悉的动点问题与相似分类讨论问题，通过常规问题以考查学生中考复习的有效性;第(2)小题从三角形底CD的定长到面积的定值，在不变中利用等积寻找高h的最值，问题巧妙地将定值问题与最值结合，捕捉数学中变与不变的内在联系.试题能很好地反映出学生数学探究能力，由于问题涉及含参数方程，被开方式为二次式的根式的最值(来源课本例题)或几何特殊值分析等方法，具有较高的综合性，问题解决思维含量高.本题的解决过程渗透了分类思想、方程函数思想、数形结合思想等，充分展现了学生的数学思考能力.

3 试题风格微调，小幅创新，明确教学导向

压轴题一方面要保持平稳，避免变化太大，引起教师教学无踪可寻.另一方面又要避免试题一成不变，以致教师在教学过程中归纳固定题型定向强化训练.试题风格单一，很容易引导教师在中考复习中搞题海战术.因此，命题者每年都会努力在某些方面尝试创新突破，小幅调整试题风格，以避免学生与教师一味练题，不重视能力培养与通法掌握.另一方面也避免教师猜题押题，滋养不良的应试之风.如嘉兴、舟山卷加入斜率k的分类，台州卷加入“伴随直线”与“伴随四边形”等新定义，湖州卷在最后一题加入“轨迹”长求解等.

图4

例3如图4，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-4,0)，点B的坐标是(0，b)(bgt;0).P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上)，连结PP′，P′A,P′C.设点P的横坐标为a.

(1)当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是(-1，m)，求m的值.

(2)若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D,当P′D∶DC=1∶3时，求a的值.

(3)是否同时存在a，b，使得△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由.

(2011年浙江省温州市数学中考试题)

评注本题粗看之下，似乎与常规的动态题并无太大区别.同样是3个小题，第(1)小题问基础，第(2)小题问提高，第(3)小问分类探究，基本范式不变.但细品之下可以发现，本题与其他试题的不同之处在于本题之中有两大元素在动态变化:一是直线AP的斜率在变，题中以y轴上的截距b为变量控制;二是用变量a控制点P与P′的位置，且2个变量独立变化、互不依存，可自由取不同数值，即本题中变量二元化，与传统的一元化单变量问题有所不同.本题在变量的个数上作了细微的调整，给学生创设了一个陌生而又熟悉的问题情景.

4 个别试题存在一些小问题

对2011年中考试题，教师的普遍印象是规范、合理、创新，这也是教师平时命制试题的学习典范.但中考试题毕竟是短时间命题的成果，有时难免也会有不恰当之处.2011年的中考试题个别压轴题中也出现了小小的瑕疵，但瑕不掩瑜.

4.1 表述不恰当，导致题意不清

衢州市中考试题第24题中的第(3)小题“当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M”，由于大条件“并且当2条直线同时相交于y轴正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2”，应当保持l1⊥l2，此时l1与x轴的交点A位置随之发生变化，则抛物线也随之发生变化，显然不符合命题者的命题意图.但如果考生在解题时考虑到这一点，那势必会影响其解题思路的形成.建议此处将“当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，”改为在“M是抛物线上一动点”即可.

4.2 陈题或竞赛知识易解，试题存在不公平

2011年义乌市数学中考试题的最后一题第(3)小题与2009年的广东省清远市的数学中考题类似度较高；2011年绍兴市中考题第24题中第(2)小题包含的基本图形与绍兴市2003年的中考题基本图形类似，同时第(2)小题如果学生学习过“四点共圆”知识，根据同弧所对圆周角相等，可以较快得解，缺少探究价值.而对于没有接触过类似考题的考生或是没有学习竞赛的考生，显然是不公平的.

4.3 试题解答不完整

例4如图5，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB，AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线OB于点E，F，点E为垂足，连结CF．

(1)当∠AOB=30°时，求弧AB的长度.

(2)当DE=8时，求线段EF的长.

(3)在点B的运动过程中，是否存在以点E，C，F为顶点的三角形与△AOB相似?若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

(2011年浙江省金华、丽水市数学中考试题)

图5 图6

(2)如图6，EF=3.

(3)存在以点E，C，F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E的坐标为

图7

评注本题中“点B是该半圆周上一动点”，不能以“如图”2个字将图形固化，因此要考虑点B在图7位置的情况.而第(2)小题的解答中没有考虑此种情况，则缺少一解，此时EF=6.类似地,2011年绍兴市数学中考试题第24题第(2)小题的第②小题也以第①小题的“如图”将图形想当然地固定了三角形的摆放方向，忽视了点D与点Q重合的可能性,若加上条件“点D与点Q不重合”,则更为合理.