2011年数学高考中有关计数原理试题的评析

●

(北仑中学 浙江宁波 315800)

2011年数学高考中有关计数原理试题的评析

●吴文尧

(北仑中学 浙江宁波 315800)

计数问题是中学数学中最具挑战性的问题之一．计数原理包括分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等.在中学数学中,因为其知识相对独立、思维相对独特，所以也占有其独特的地位，也是数学高考必考的内容之一.

1 教学要求与考查要求

1.1 考试内容

分类计数加法原理、分步计数乘法原理；排列与组合；二项式定理及其应用．

1.2 考试要求

(1)理解分类计数加法原理、分步计数乘法原理，会用2个原理分析和解决一些简单的应用问题．

(2)理解排列、组合的概念，能用计数原理推导排列数公式、组合数公式,并能解决一些简单的应用问题．

(3)能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决一些与二项展开式有关的简单问题．

2 命题特点和知识类型

2.1 命题特点

纵观2011年全国及各省市的数学高考文、理试卷，对计数原理的考查主要有3种题型:有一定实际背景的计数问题、与古典概率相结合的计数问题、有关二项式定理的简单计算问题(如求展开式中的某一项或其系数的大小等).对于二项式定理的考查通常出现在基础小题中，对能力的要求相对较低；有关计数问题的试题通常出现在最后的2道选择题或最后的2道填空题中，有时其难度也可能是中档题或稍难题，对能力的要求相对较高．

2.2 知识类型

(1)利用二项式定理求展开式的某一项(或系数)．

(2011年湖北省数学高考理科试题)

分析可先待定展开式中含x15的项为第r+1项，则

点评这是一道比较典型的普通计算问题.绝大多数考生能解决，但由于对运算能力的要求比较高，要较快地得到准确结论也不是很容易.在运算前,明确每一步的运算目标是保证运算准确性及速度的必要条件．

(2)运用计数原理及排列组合知识解决计数问题．

例24位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有

( )

A．12种 B．24种 C．30种 D．36种

(2011年全国数学高考文科试题Ⅱ第9题)

点评分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题最基本、最重要的方法.若能设计一个方案把“事情”做完，则一般由计数原理不难得到结论．

(3)在古典概率的计算中运用计数原理.

例3从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于

( )

(2011年安徽省数学高考理科试题)

点评在古典概率的计算中，其“事件”总数的计算一般不成问题，具有一定挑战性的往往是如何计算满足条件的“事件”个数，上述解法通过计算“剩下2个点的方法数”显得比较机智！

3 亮点扫描

3.1 注重通法，淡化技巧

从例1、例2、例3及其解法中不难发现，虽然其题目特点、知识类型各不相同，但有一点是相同的，即都是有关计数问题中的常规试题.从简洁中体现常规，突出考查通性通法，解决它们不需要高深的特殊技巧;特别是对于二项式定理的考查，体现了“平平淡淡才是真”的思想．许多省市的有关二项式定理的试题如同出一辙，例如广东省理科的第10题、浙江省理科第13题、天津市理科第5题、陕西省理科第4题等．

3.2 重视思想，考查能力

各地试卷均非常重视对对基础知识和基本数学思想方法的考查，分类讨论的思想、等价转化的思想是解决计数问题的利器，在试卷中都有所体现．

例4有5本不同的书，其中语文书有2本，数学书有2本，物理书有1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

( )

(2011年浙江省数学高考理科试题)

点评解决此题的关键是如何求出满足条件的摆放方法数.对这个问题的背景考生都比较熟悉，题型是一个典型的有关“不相邻排列”问题，考生们感到比较纠结的是如何能做到“2本语文书互不相邻且2本数学书也互不相邻”．若用直接法解之,显然要用“插”的方法;若用“正难则反”的方法解之，则显然可用“捆”的对策．在具体操作过程中,若注意分类讨论思想及等价转化思想的应用，则不难得到问题的解法．

3.3 背景新颖，名题新编

纵览2011年各地高考数学试卷，其中有关计数问题的试题有的背景设计新颖、构思巧妙，给人以眼前一亮的感觉．但其数学本质是不会改变的，它的原形往往是大家所熟悉的经典问题．

图1

例5给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图1所示.由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有2个黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示).

(2011年湖北省数学高考理科试题)

解设n个正方形时，黑色正方形互不相邻的着色方案数为f(n)，则f(1)=2，f(2)=f(1)+1=3，f(3)=f(2)+f(1)=5,f(4)=f(3)+f(2)=8,f(5)=f(4)+f(3)=13，f(6)=f(5)+f(4)=21.由于给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色的总的着色方法数为26=64,所以至少有2个黑色正方形相邻的着色方案的方法数为64-21=43.

点评本题新颖、别致的问题情境确实给人耳目一新的感觉，这无疑是2011年湖北省数学高考试题的最大亮点之一，具有很好的选拔功能，考查学生的探究能力也很给力．

事实上，当n=k+1时满足条件的染过色的k+1个正方形组可这样操作得到：把n=k时所有图形的下方再补一个白色正方形，得到f(k)个满足条件的染过色的k+1个正方形组，再把n=k时最下面的一个正方形为白色的下方再补一个黑色正方形，得到f(k-1)个满足条件的染过色的k+1个正方形组，所以

f(k+1)=f(k)+f(k-1),

因此这个问题的原形即为大家熟知的名题——斐波那契数列,无非是把兔子问题改成了染色问题而已．

3.4 交汇整合,综合应用

以往的计数问题涉及的知识点比较单一,2011年各地数学高考试题的有关计数问题中也出现了一些与其他知识的综合、交汇.这也是2011年高考数学试卷的新亮点之一.

例6设A(0，0),B(4，0)，C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)的值域为

( )

A．{9,10,11} B．{9,10,12}

C．{9,11,12} D．{10,11,12}

(2011年北京市数学高考理科试题)

图2

解如图2,当t=0时,平行四边形ABCD恰为正方形,其中内部的整点个数为9个,即N(0)=9,否定选项D.同理N(1)=12,可否定A.由N(2)=11可否定选项B.故选C.

点评虽然问题的情境较新,且涉及函数概念、平面区域、计数方法等内容.若有分类讨论的意识及解答选择题的正确对策，则不难找到正确答案．若改为填空题,又该如何解决呢？读者不妨试一试！

( )

(2011年四川省数学高考理科试题)

图3

点评乍一看，本题给人的感觉有点吓人，所涉及的知识点也比较多；其实按照题目的要求，明确解题的目标,先计算向量的个数，再得到平行四边形的个数，然后由等积变换得到面积为2的平行四边形的个数，最后到达理想的彼岸，其思路还是比较自然的．

4 复习建议

4.1 重视思想,注意数学思想方法的应用

数学问题中的难题之所以成为难题，其主要原因往往是试题的题型、情景对考生来说可能是全新的，但解决问题所用的思想方法必然不会是全新的，数学思想方法的教学应渗透在教学的全过程中，使学生在学好基础知识、基本技能的同时，能领悟其中的数学思想方法.在解决具有一定挑战性的计数问题时，可用分类讨论的思想方法把复杂问题简单化；用等价转化的思想把陌生问题熟悉化；用数形结合的思想方法把抽象问题具体化．

4.2 重视常用解题方法和技巧的训练

在复习中要注重通性通法的教学、淡化技巧，这是我们已经达成的共识；但也不能从一个极端走向另一个极端.淡化技巧不等于不要技巧，一定的解题技能技巧还是需要的.笔者认为求解有关计数问题的常用方法和技巧(不妨称为“八字诀”)，还是需要通过一定的训练掌握的.

分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题．对于一个比较复杂的计数应用问题,在通常情况下，可通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之．

特——从特殊的元素、位置入手解题．附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或位置；对特殊的元素和位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处．

反——利用“正难则反”的原则解题．当问题的正面情况错综复杂，即正面进攻很难奏效时，可考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界．

等——利用概率相等解题．充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论．

化——注意用转化思想指导解题．许多计数问题.表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已．转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视．

捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧．

插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧．

推——运用递推关系解决排列组合应用问题．递推方法是把复杂问题化归为简单问题、未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现．