年年岁岁“卷”相似 岁岁年年“题”不同——2011年全国各地数学高考试卷的特点透视和趋势分析

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(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006)

年年岁岁“卷”相似岁岁年年“题”不同
——2011年全国各地数学高考试卷的特点透视和趋势分析

●马茂年

(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006)

2011年全国各地数学高考试卷共18套，其中新课程试卷有14套，大纲课程试卷有4套.其中，江苏卷是文、理科合卷，江西卷系新课程试卷的首次亮相.2011年新课程数学试卷精彩纷呈、目不暇接，大纲课程数学试卷也琳琅满目、美不胜收.

1 新课程卷在整体上结构鲜活、背景新颖，在创新中发展

1.1 选择题、填空题从统计知识点中透视真缔和趋势分析

通过对2011年数学高考试卷各知识考点进行统计可以发现：函数的零点、多面体的三视图、算法初步中的程序运行、含有全称量词和存在量词的命题、几何概型、茎叶图、合情推理、线性回归直线方程等知识，都已成为考查的热点.复数是文科的新增学习内容，它已经成为文科知识考点的最大热门.

从统计中我们发现，在选择题和填空题中，理科出现频率较高的知识点为多面体的三视图、算法初步中的程序运行、含有全称量词和存在量词的命题，文科出现频率较高的知识点为复数运算、多面体的三视图、算法初步中的程序运行.

在选择题和填空题中，集合、复数、向量这3种运算占必考地位，函数的性质、数列的性质、不等式的性质、曲线方程的性质这4大性质成为结构主体，函数方程、数形结合、分类讨论、等价转换、统计分析等思想方法得到了很好的体现.

选择题以集合、复数、简易逻辑、函数、三角、数列、不等式、立体几何、解析几何、平面向量、导数、概率与统计等为基本素材，极具思考性、挑战性和趣味性的小型综合题为多.其中集合中的信息迁移题、复数的基本概念和代数运算题、三角函数的图像和性质题、立体几何与解析几何的交汇题、平面向量与平面几何的融合题等将是高考选择题中最具活力和魅力的优秀创新题.填空题是以简易逻辑、立体几何、线性规划、解析几何、平面向量、导数等为载体，编制新颖别致、小巧玲珑的小型综合题.

1.2 高考数学新课程试卷应用性试题透视和趋势分析

表1 2011年数学高考新课程试卷应用性试题的题型与背景

对应用意识的考查前几年就进入了高考命题者的视野，但由于应用题的设计需要符合“贴近生活、背景公平、控制难度”三要素，因此它的迈步有些裹足不前，新课程教学理念如一股强劲的春风，吹生了好多应用性高考题，每卷至少出现一道应用性小题.

2011年高考数学新课程试卷中的应用性问题丰富多彩，涉及社会、生产、生活的方方面面，许多试题别开生面，充分展示了课程改革的累累硕果.以理科为例，新课程全国卷第19题中的“质量指标”、湖南卷第18题中的“商场试销”，安徽卷第20题中的“核电辐射”等，都充分体现了新课程理念.我们可以预见，应用题中的设计方案将成为高考题的一种“时尚”而逐步流行.

2011年数学高考应用题，背景熟悉、创意新颖、贴近考生生活实际，有助于培养学生的创新意识与实践能力.解决问题时所用的具体数学知识并不多，关键是考查学生的观察分析能力、直觉顿悟能力和逆向推演能力，注重于对逻辑思维能力、理性思维能力和解题方法的考查.问题“寓意深厚，淡中见隽”，需要“巧妙思索，出奇制胜”.题目明确地告诉我们，不仅要学会用数学的知识解决问题，更要善于运用数学的思想方法和创新思维方式来解决有关实际问题.

1.3 数学高考新课程试卷(以理科为例)中的数列解答题透视和趋势分析

表2 2011年数学高考新课程试卷(理科)中的数列解答题统计

数列在解答题中长期处于压轴题的地位(尤其是理科)，人们对它往往情有独钟，但在新课程下其教学内容已大大削减，教学要求也明显降低，相应地在高考中的地位必然逐步下降.由于有些试卷最后一个大题安排自选模块内容，而有些试卷干脆只安排5个大题，这样就把数列挤出了解答题.但从上面的统计可以发现，数列在解答题中的压轴地位不可动摇.

从思维角度看，考查数列的综合知识还是必要的；从教学情感上说，数列解答题跟我们真的难舍难分.因此，从大纲课程高考向新课程高考过渡时仍然安排数列解答题是合适的，考查重点将会是等差数列、等比数列的通项与求和以及利用重要不等式、放缩法、分类讨论.从2011年的高考数列题看，试题难度越来越大，今后必需加强数列这部分内容的教学.

数列是高考考查的重点和热点，分析2011年数学高考试题，从分值来看，数列部分约占总分的10%.等差数列与等比数列的通项公式、求和公式的应用以及基本性质一直是高考的重点内容.对数列部分的考查一方面以小题形式考查基础知识；另一方面以解答题形式考查数列的概念、通项公式以及前n项求和公式.有些省份把数列题作为压轴题，与不等式、数学归纳法、函数等内容综合，考查学生运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证、运算等能力，以及分析和解决问题的能力.

1.4 高考数学新课程试卷(以理科为例)中的解析几何解答题透视和趋势分析

表3 2011年高考数学新课程试卷(理科)中的解析几何解答题统计

新课程标准一再强调“了解实际背景”和“体会数形结合”，这些要求在2011年数学高考题中都得到了较好的体现.在选择题和填空题中，实际背景屡见不鲜，数形结合俯首皆是，多个省市还精心设计了有关椭圆与圆的应用解答题，真是匠心独运.解析几何题是重头戏，在新课程高考中还是岿然不动，它们在高考中处于压轴(至少是准压轴)地位.考试难度常见是较难题，且理科卷中其题序大致在倒数第2题(文科可能在最后一题).由于新课程试卷还处在摸索阶段，对解析几何的定位还具不确定性，估计中偏上的难度会是人们今后的共识.

这类问题常常涉及求直线或圆锥曲线的方程、直线被圆锥曲线所截得弦长的计算、直线与有关线段围成的三角形面积及其最值的求解、运用点到直线距离公式求解等.

试题多以“直线与椭圆”为载体，“题意清晰、题面简洁、题图简明、题问明确”，是一道“常见、常态、常规”之题型，但通过命题者题设条件的巧妙设置，使上述所列的有关知识得以具体而全面的考查.同时通过精心的设问，使相关知识得以较好地交融与交汇，拓展了问题考查的知识面，不失为一道好试题.

2 大纲课程卷在整体上风格稳健、凸现能力，在稳定中创新

2.1 数学高考大纲课程试卷(以理科为例)知识考点、题型分布统计表(如表4,表5)

表4 2011年数学高考大纲课程试卷(理科)选择题和填空题知识考点分布

表5 2011年数学高考大纲课程试卷(理科)解答题题型分布

2.2 数学高考大纲课程试卷题型结构稳定，分值配置不变，考查主干知识不变

各卷的选择题和填空题难度都进行了合理和适度的调整.总的来说，适当降低了起点，但也始终保持着最后一道选择题和填空题的难度，选择题和填空题的最后一题以及解答题的末两、三题的后半题，分层、分级适当提高能力要求，从而达到了“区分”和“选拔”的目的.

选择题和填空题毕竟不是解答题，小题不必大做：前几道题只要运用基础知识即可解决，而后几道题需要在深刻理解知识的前提下灵机一动.我们通过对选择题和填空题最后一题的知识考点进行统计分析，结果发现“椭圆”、“球”、“新定义(信息题)”排在前3位，究其原因是，它们能较好地考查数学方法的运用、数学知识的综合和数学学习的潜能.

大纲课程试卷立体几何、解析几何题的材料背景一清二楚.其中立体几何大题的材料背景中，正方体、非正方体的柱体、台体和非规则几何体烘托着锥体；在理科试卷解析几何大题的材料背景中，圆、椭圆、抛物线烘托着双曲线；在文科试卷解析几何大题的材料背景中，圆、椭圆、双曲线烘托着抛物线.

3 2011年数学高考卷总体评价及对高中数学教学的启示

(1)突出重点注重双基，主干内容常考常新，对数学基础知识和基本思想方法的考查达到“横向到边，纵向到底，不留死角，一网打尽”的境地.

2011年全国数学高考命题坚持对数学基础知识和基本思想方法的考查;全面突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容和主干知识的考查，占有较大的比例，构成数学试卷的主体;注重学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，对数学基础知识和基本思想方法的考查达到必要的深度，这成为了2011年全国数学高考试卷的一大特色和一个亮点.

(2)知识能力素质相融，全面检测综合素养，对数学概念本质和理性思维能力的考查导入“回归源头，得心应手，先思后解，自在悠闲”的境域.

2011年全国各地数学高考试题立意鲜明、题目不偏不怪、题干简约、叙述清晰、纯净淡雅、平易近人.“以思维为核心，能力为导向”是2011年数学高考命题坚持不懈的追求.试题进一步深化能力立意思想，同时兼顾了数学知识、方法、思维、能力、素质和综合素养的考查，以有利于高校选拔新生，有利于中学实施素质教育，有利于培养学生的创新精神和实践能力的命题主旨.

(3)背景公平似曾相识，巧妙变换引爆思考，对自主探究和创新意识考查的命题设计步入“路径宽敞，寓意深厚，淡中见隽，出奇制胜”的境界.

2011年各地数学高考试卷避免了刻板、繁难和偏怪的试题，避免了死记硬背的内容、难晦冗长的题目叙述和繁琐的计算，同时注意试题形式的多样性和设计的创新性.在选择题、填空题、解答题中均设计了利用考生熟悉的、常见的背景变化和重新设计的问题，其情境熟悉、寓意深刻，看似平淡实则新奇，思考路径宽敞.问题的设计努力为“学生自主探究、发挥主观能动性、研究问题的本质、寻找合适的解题方法、优化解题程序、展示其探索探究和创新意识、发挥创造能力”创设并提供了广阔的挥洒空间，这又成为了2011年全国各地数学高考命题的一大特点.

(4)2011年数学高考卷对高中数学教学的启示，如何上好复习课，如何减轻学生负担，提高课堂教学效益.

2011年全国数学高考卷的风格决定了“难题不是难在技巧上，而是难在策略上”.在教学中，如何提升学生的解题策略水平？这是一个很难用一句话来回答的问题，我们可以试探性地作如下讨论：

①学生的解题策略水平离不开数学思想方法的支撑，离不开对数学概念的深入理解.

②脱离学生的认知基础，一味强调“核心技能”的复制与模仿，难以提升学生的解题策略水平.

③只在学生的认知基础上进行“技能训练”,而不进行“技能成因”的合理性、必要性探究，也难以提升学生的解题策略水平.

④学生策略水平的高低与学生包括阅读理解在内的综合能力有关；与学生数学学习的经验水平有关；与学生面对陌生情境，能否进行信息加工，通过现象看本质的心理素质有关；与学生在长期的解题训练中，能否不断反思“技能成因”的合理性、必要性，进而内化为策略原则，即“元认知”水平有关.

基于这样的认识，我们要提高高三数学课堂教学效益，须做到如下几点：

(1)准确把握学生的思维习惯、认知基础，并以此作为解题策略生成的起点；

(2)教学中善于引导学生把已有的生活经验适时迁移到解题策略的制定上来；

(3)对于超出学生思维习惯、认知基础的解题策略，教师可以启发式讲授，但要深入挖掘其合理性、必要性，力求自然、和谐、水到渠成.

总之，数学是高考的主要学科，数学成绩的高低将会决定考生的高考命运.如何在高三复习教学中，使学生获得最佳的高考数学成绩，一般是有规律可寻的，如下的几条建议也许对你是有启示的：按步思维；程序解答；回归定义；分析转化；数形结合；函数思想；分类讨论；反面入手；特殊突破；重视通法.数学解题事实上就是经过一系列的连续化归与变形，将复杂的问题弄简单、弄明白.当你的心在与书本交流、与数学题对白时，心头就会逐渐升起淡淡的喜悦，浮荡的灵魂就能体验到数学思维里的美妙和美妙思维里的数学.愿我们能在思考中学习数学、在理解中感悟数学、在运用中体验数学.