自主招生试题中常用的四种恒等变形——兼论恒等变形在中学数学学习中的基础地位

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(顺风高级中学 浙江东阳 322100) (东阳中学 浙江东阳 322100)

自主招生试题中常用的四种恒等变形
——兼论恒等变形在中学数学学习中的基础地位

●蒋元虎●吴国建

(顺风高级中学 浙江东阳 322100) (东阳中学 浙江东阳 322100)

数学是运算的科学，而运算的核心是恒等变形．从某种意义上讲，数学问题的解决其本质就是通过恒等变形进行化简直至导出结论的过程．与高考相比，自主招生考试在数学思维与能力上提出了更高的要求.这种要求体现在运算上，首先知识面要求更宽，除常规的因式分解、配方换元、待定系数等，还要求考生掌握对称变换、裂项相消等变形方式；其次恒等变形的难度进一步加大，方法与技巧的要求更高，譬如三次方程的韦达定理，结合表达式的对称性进行均值换元、通过裂项相消进行恒等变形与不等放缩等．

本文拟结合近几年各校自主招生试题，阐述较高要求的4种恒等变形方法与技巧，进而体现恒等变形在中学数学学习中的基础性地位．

1 基于函数方程的恒等变形

自主招生中的函数方程问题，主要涉及一元二次、一元三次方程.这类问题的求解离不开恒等变形，主要包括因式分解、一元二次方程的判别式与韦达定理、求根公式以及一些常见的恒等变换技巧．

例1解方程组

(2007年北京大学自主招生考试试题)

解由原方程组得

得

(x-1)(x-4)=-2,

评注本题中的常数可以自由凑配，但要确保每个方程含未知元部分恰好能成为2个一次因式的积.因为这些因式间有联系,所以再通过这3个方程间消元变换,即可获解．

例2已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(x)=x没有实数根，试判断f[f(x)]=x是否有实数根？并证明你的结论．

(2008年上海交通大学自主招生考试试题)

解没有．因为f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实数根，所以

Δ=(b-1)2-4aclt;0.

考察f[f(x)]-x=0，得

a(ax2+bx+c)2+b(ax2+bx+c)+c-x=0，

从而

a(ax2+bx+c)2-ax2+ax2+b(ax2+bx+c)+c-x=0,

即

a(ax2+bx+c-x)(ax2+bx+c+x)+(b+1)ax2+(b2-1)x+c(b+1)=0.

提取公因式a(ax2+bx+c-x),得

[ax2+(b-1)x+c][a2x2+a(b+1)x+ac+b+1]=0,

于是

ax2+(b-1)x+c=0或a2x2+a(b+1)x+ax+b+1=0．

因为

Δ1=(b-1)2-4aclt;0;

Δ2=a2(b+1)2-4a2(ac+b+1)=a2[(b-1)2-4ac-4]lt;-4a2lt;0,

所以2个二次方程均不存在实数根，故方程f[f(x)]=x也不存在实数根．

评注本题着重于考查学生通过拆、添项分解多项式因式的能力．由于f(x)=x的根一定是f[f(x)]=x的根，再考虑到本题的结论，可以得出：若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f(x)=x有根的充要条件是f[f(x)]=x有实数根.当然，f[f(x)]=x的实数根未必都是f(x)=x的根，因此{x|f(x)=x}⊆{x|f[f(x)]=x}．

2 基于待定系数的恒等变形

自主招生试题往往运算要求较高．待定系数法作为一种常用的恒等变形方法，常适用于较困难的多项式的因式分解，表面上看似增加了多个未知数，但运算往往比较巧妙，多给人以“柳暗花明又一村”之感．

(2010年清华大学等五校联考试题)

解设h(x)=px2+qx+r，p,q,r均为有理数,则由h(α)=θ得

整理得

pθ4+2pθ3+(2q-3p)θ2+(2q-4p-4)θ+(4p-4q+4r)=0.

左边除以θ3-3θ+10,得

因为整系数方程x3-3x+10=0没有有理根，又p,q,r∈Q，所以2qθ2+(2q-8p-4)θ-(16p+4q-4r)不是θ3-3θ+10的因式．而θ同时是pθ4+2pθ3+(2q-3p)θ2+(2q-4p-4)θ+(4p-4q+4r)=0和θ3-3θ+10=0的根，所以2qθ2+(2q-8p-4)θ-(16p+4q-4r)恒等于0．故

2q=2q-8p-4=16p+4q-4r=0，

解得

即

评注原题为“求h(0)”，且为选择题．这里，可以直接运用整系数方程的有理根定理(所有有理根，分母必为首项系数的约数，分子必为常数项的约数)，证明方程x3-3x+10=0没有有理根.

3 基于裂项相消的恒等变形

基于裂项相消(或称为拆添项)的恒等变形(或变形后放缩、或放缩后变形)也是一种基本的数学素养，是高中数学的基本功，特别是在数列的通项与求和中应用十分广泛.高校自主招生也十分关注这一基本的恒等变形方式，在自主招生试题中出现了许多运用裂项相消变形的问题．运用裂项相消实现恒等变形的关键在于能否将数列通项an等价变换为A·[f(n)-f(n+1)]或A·[f(n)-f(n+k)]的形式，这种等价变换有时也可运用待定系数法来实现．

(2004年复旦大学自主招生考试试题)

证明注意到当j≥2时,

于是

从而

则

评注此题巧妙运用放缩法达到裂项相消的效果，从而将含n项的式子的运算变成有限项的运算.整个运算过程充分体现了“恒等变形、不等放缩”．

4 基于对称换元的恒等变形

对称性是图像或表达式作一定的变换后而保持不变的一种性质．在解题中,若能发现并充分运用这种性质，则能提供解题思路并简化整个运算．特别是在恒等变形过程中，可以运用对称性引入参变量，简化表达式．

(2009年清华大学自主招生考试试题)

评注这种对称变换又称为均值代换，可以达到减少变量的目的．

例6已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1，若min{a1,a2,a3}≤min{b1,b2,b3}，求证：max{a1,a2,a3}≤max{b1,b2,b3}.

(2008年北京大学自主招生考试试题)

解注意到ai,bj在问题中的对称性，不妨令a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3，于是min{a1,a2,a3}≤min{b1,b2,b3}转化为a3≤b3，证明目标转化为a1≤b1．下面用分析法证明：

令a1+a2+a3=b1+b2+b3=c,a1=m+δ1,a2=m-δ1,b1=n+δ2,b2=n-δ2.于是a3=c-2m,b3=c-2n．若m=n，则命题显然成立.下面只考虑mgt;n的情况，只要证明

将a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1变为

a1a2+(a1+a2)a3=b1b2+(b1+b2)b3，

再把ai,bj(i,j=1,2,3)的表达式化简得

评注求解本题时充分利用了问题中字母的对称性，先对问题附加假设条件，以添加结论的形式得以化简(完成了将抽象的数学符号配套化的过程)，接着再进一步利用增量代换的思想，用分析法证得结论，每一步的证明过程也是一个恒等变形的过程．