2011年数学高考数列试题分类评析

●

(黄岩中学 浙江黄岩 318020)

2011年数学高考数列试题分类评析

●金克勤

(黄岩中学 浙江黄岩 318020)

1 教学要求与考查要求

数列是高考的重要内容之一，主要考查数列的概念和几种表示方法。要求理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和的公式，了解等差、等比数列与一次函数、指数函数的关系，能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和，能运用数列的等差或等比关系解决实际问题．

2 数列的命题特点与知识类型

数列内容在高考试卷中占的比重较大，分值占10%～15%，大多数省份的数学试题中数列呈现出一个大题一个小题的趋势，着重考查等差和等比数列.纵观近几年浙江省数学高考试题，我们发现浙江考题与全国卷、其他省市卷数列题有区别，具有十分明显的特色，前几年只考小题，2011年只考大题，共14分，占10%左右．对数列的考查主要着眼于数列的基础知识与基本方法，作为中档题，回避了递推数列和复杂的不等关系的论证，主要揭示等差和等比数列内在的本质性知识，形成浙江卷数列题的特色．

从全国卷和其他省市卷的数列题分析，客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质，突出了“小、巧、活、新”的特点，属容易题或中档题．主观题的考查2011年除了陕西省只考到一个等比数列前n项求和公式和福建省只在第16题的第(1)小题中考查了等比数列的通项公式外，其他省份数列都有一道大题出现，且以中等和难度较大的综合题出现，其中重庆和北京将数列放在压轴题的位置．从知识类型上看，考查的主要内容为：(1)等差、等比数列的概念与基本运算；(2)数列的通项及通项与前n项和关系的运用；(3)等差数列与等比数列的判断与证明；(4)等差数列与等比数列前n项和及可利用错位相减法或裂项法求和的数列前n项和；(5)简单的递推关系；(6)数列与不等式、三角函数等的联系．自浙江省单独命题以来，对数列的考查可以说是逐渐发展提高的过程，从只考小题，到只考大题，而大题以中等题形式出现，这一显著变化似乎是一种信号，具有一定的导向作用．

纵观2011年的数列题，体现了常考常新的命题特点.命题很有新意、不落俗套,考生初看到这样的考题，感觉亲切、熟悉，但顺利解决需要动一番脑筋，需要有扎实的数学功底、极强的推理运算和论证能力．这类试题对概念和思维的考查力度较大，对学生探索能力、思维能力、运算能力和推理论证能力要求较高，具有较强的选拔功能．以数列题考查运算能力与推理论证能力成为浙江卷的一大特点．

3 亮点扫描

3.1 重视基本概念的考查

例1设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形面积(i=1，2，…)，则{Ai}为等比数列的充要条件是

( )

A．{an}是等比数列

B．a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列

C．a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列

D．a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列且公比相同

(2011年上海市数学高考理科试题)

3.2 突出基本公式的运用

例2设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=________.

(2011年湖南省数学高考理科试题)

评析本题直接明了地考查等差数列的基本内容，S5=5a1+10d，而

3d=a4-a1=6，d=2，

所以

S5=25.

同理可得

本题的背景是数列1，3，5，7，9，…

例3已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3=16，S20=20,则S10的值为________.

(2011年天津市数学高考文科试题)

评析这道题同样是直接考查等差数列的基本运算，不需要任何技巧，直接进行运算．设公差为d，则

a3=a1+2d，S20=20a1+190d=20，

解得

a1=20，d=-2，

于是

S10=10a1+45d=110．

返璞归真用最基本的方法解决基本问题，是高考解题的重要原则．

3.3 强调性质的灵活运用

例4在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=________.

(2011年天津市数学高考理科试题)

评析本题主要考查等差数列的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，直接运用性质便可得

a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=74．

例5已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=

( )

A．1 B．9 C．10 D．55

(2011年江西省数学高考理科试题)

评析本题的亮点在于给出的条件Sn+Sm=Sn+m，而求a10的值，所采用的方法为特殊化：令m=1，则

Sn+1=Sn+1，an+1=Sn+1-Sn=1，

解得a10=1.故选A．

3.4 紧扣考纲要求考查重点内容

考纲中明确指出数列的重点是对等差、等比数列概念及性质的考查，各地试卷很好地体现了考纲的精神．

(1)求数列{an}的通项公式及Sn；

(2011年浙江省数学高考理科试题)

评析本题的最大亮点是题目简洁、表达朴素、内涵丰富．主要考查了等差与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，也考查了其他数列(能裂项相消)的前n项和，结合不等式的知识考查了二项式定理、数学归纳法等内容．

解(1)设等差数列{an}的公差为d.由

得

(a1+d)2=a1(a1+3d).

an=na，

从而

由a2n-1=2n-1a，得

要比较An与Bn的大小，实际上是比较2n与n+1的大小，可以用数学归纳法或二项式定理来比较An与Bn的大小．例如当n≥2时，

从而当agt;0时，Anlt;Bn；当alt;0时，Angt;Bn．

3.5 注重在知识交汇处考查

例7设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．

(2011年江苏省数学高考理科试题)

评析本题的亮点在于等差、等比数列与不等式结合，在知识的交汇点上进行考查，这是高考试题的一个特点．

解由题意可知

1=a1≤a1≤a2≤a1q≤a2+1≤a1q2≤

a2+2≤a1q3，

即

1=a1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3.

要使q最小，只需使a2最小，于是

解得

例8在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记做Tn，再令an=lgTn，n≥1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=tanan·tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．

(2011年安徽省数学高考理科试题)

评析本题的亮点是结合等差数列与等比数列，同时在对数和指数的运算、两角差的正切公式的运用.当数列求和与三角变换有机地结合起来，考查学生灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能力．

解(1)设t1，t2，…，tn+2构成等比数列，其中t1=1，tn+2=100，则

Tn=t1·t2·…·tn+2,

且

Tn=tn+1·tn+1·…·t1，

所以

利用等比数列性质

ti·tn+3-i=t1·tn+1=100(1≤i≤n+2)，

可得

因此

an=lgTn=n+2(n≥1)．

(2)由题意及第(1)小题计算结果，知

bn=tan(n+2)·tan(n+3)(n≥1).

因为

所以

于是

4 复习建议

4.1 夯实基础知识

(1)数列的概念.

(2)等差数列.

掌握等差数列的定义，能够根据定义判定一个数列是否为等差数列．掌握等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d；推广形式为an=am+(n-m)d.掌握等差数列的前n项求和公式．一个数列成为等差数列的充要条件，如Sn=An2+Bn及an+1+an-1=2an等．

掌握等差数列的基本性质，如若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，以及Sk，S2k-Sk，S3k-S2k,…,成等差数列等．

(3)等比数列.

掌握等比数列的定义，能够根据定义判定一个数列是否为等比数列．掌握等比数列的通项公式an=a1qn-1；推广形式为an=amqn-m．掌握等比数列的前n项和公式

掌握等比数列的基本性质：如若m+n=p+q，则am·an=ap·aq，以及Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等比数列．

4.2 掌握基本方法

(1)基本量法：由于等差、等比数列是由首项与公差、公比确定的，因此凡涉及等差、等比数列的问题，总可以通过等差、等比数列的基本量结合相关的知识去解决问题．运用基本量法必须与数列的性质密切配合，只有这样才能达到灵活应用的程度，才能发挥无穷的活力．2个重要数列问题都可以运用基本量法解决，不要人为地追求技巧，要返璞归真．

(2)掌握求数列通项公式的常见求法：观察归纳法、累加消项法、累积消项法、迭代法等已知数列的前几项，写出它的一个通项公式时，通常用观察法，然后归纳猜想．观察是一切能力的基础，在数列学习中显得尤其重要．

(3)掌握数列求和的常见方法：公式法、拆项求和法、转化求和法、裂项求和法、错位相减法、倒序相加法等．

4.3 领会基本思想

数列中涉及很多数学思想，需要注意领会以下几种数学思想．

(1)函数思想：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．复习中要理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，弄清等差数列与一次函数的关系，抓住等差数列的特征，掌握前n项和公式，弄清它与二次函数的关系．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，弄清等比数列与指数函数的关系．

(2)方程思想：运用数列基本量法解题需根据题设条件，结合数列通项公式和求和公式构建方程或方程组求解，方程思想贯穿于数列学习和解题的始终．

(3)转化与化归思想：解决等差、等比数列问题都可以归结为研究首项和公差、公比问题；非等差、等比数列的问题常通过构造辅助数列转化为等差或等比数列求解；将一般的数列问题转化成等差或等比数列问题，是转化与化归的重要目标．

(4)递推思想：递推是数列的本质性内涵，虽然递推数列不是高考涉及的内容，但是递推思想和方法在解决数列问题中的作用是很大的.涉及数列前n项和Sn与an的关系问题，常采用递推思想来解决．

(5)分类讨论思想：数列中渗透分类讨论的思想．例如由Sn求an，要分n=1和n≠1进行讨论；在数列求和中有时需要进行奇偶分析讨论；有些数列的通项公式是分段表示，解题过程需要讨论；在讨论数列是否是等差或等比数列时，要考虑条件在什么时候成立等等．

(6)特殊化思想：有些数列问题，在一般情况下解决思维受阻或者解决比较困难时，我们可以把问题退到特殊情形，研究在特殊情况下的问题，从中寻找规律，或探求问题成立的条件，然后再到一般问题中去检验或验证，也可以借鉴研究特殊情形的方法去研究一般性问题．

4.4 关注重点题型

(1)基本运算题.

基本运算题是等差数列和等比数列的重要题型，通常涉及等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式，常常运用基本量法解决．

(2)推理论证题.

数列题除了考查数列的知识外，还考查分析问题能力、逻辑推理能力、运算求解能力、思维能力．

(3)情境创新题.

纵观浙江省和其他省市高考试题，可以发现数列试题丰富多彩，呈现方式多样，内涵深刻，有些是引入新概念、定义新数列给出的.解决这类问题只要认真理解题意，信息迁移，根据题设条件就可以解决．

(4)知识交汇题.

从高考试题发展的情况看，数列与其他主干知识交汇的考题正在增多，因此要重视不等式与其他知识的综合．

在数列复习中，重视通性通法的复习与训练是数列复习的重点．要突出2条主线：一条是基础知识主线；另一条是思想方法主线．要以等差、等比数列这2个主干知识为载体，以通项及求和公式为主渠道，用好数列中基本量的关系，灵活运用这2个数列的性质，注重挖掘这2个重要数列的教学价值，还数列的本来面目．