高考、自主招生、竞赛试题的三维比较

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(舟山中学 浙江舟山 316000)

高考、自主招生、竞赛试题的三维比较

●谢建伟

(舟山中学 浙江舟山 316000)

参照2011年高校自主招生数学笔试和2010年以来数学高考、全国数学联赛的试题情况(高考、自主招生、全国联赛，本文简称为“三类考试”)，现从3个维度(长度、宽度、深度)作一比较与剖析.

1 试题长度

判别试题难度，笔者认为有三看：一看问题本身;二看规定的“时间、题量、题型”;三看“考试在哪个时段进行”.这其中隐藏着一个“长度”的概念.

1．1 约定长度

所谓的约定长度，指的是3类考试在试题结构相对稳定前提下的题型、题量和考试时间安排.

表1 3类考试的约定长度

由表1不难发现：

(1)2010年以来各地和各高校对各类考试的时间和题量的规定,呈现出大同小异之势；

(2)高考三类题(选择题、填空题、解答题)的压轴题接近于解竞赛题的能力要求.华约、北约自主招生笔试题,甚至某些省份高考的部分试题与全国联赛一试试题及省级竞赛试题的要求不相上下.

1．2 解题长度

虽然同样熟门熟路的一些问题，但是却因基本模式调用次数的不同或解题长度的不同，导致解题难度的变化.

例1在平面区域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}上恒有ax-2by≤2，则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为

( )

A．4 B．8 C．16 D．32

(2011年全国数学竞赛浙江省预选赛试题)

分析在区域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}上恒有ax-2by≤2,其关键是什么呢?

解注意到直线ax-2by=2呈现线性变化规律,平面区域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}是一个矩形，可知该区域的4个顶点(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)也应满足ax-2by≤2，得关于动点P(a,b)的约束条件为:a+2b≤2,a-2b≤2,-a-2b≤2,-a+2b≤2,由此计算出动点P(a,b)所形成平面区域的面积为4.故选A.

评注(1)与线性规划相关的考题当前比较热门.这一类试题可以从数或形上加以突破；

(2)“三类考试”试题在各自命题意图指导下,形成的解题长度方面的情况差别较大.

2 试题宽度

数学学习活动产生的辐射,会拓宽知识和思维的宽度.“三类考试”试题在这一点上也有所区别.

2．1 知识宽度

(2011年华约自主招生考试试题)

点评(1)高考试题对和差化积公式没有记忆方面的要求;(2)与竞赛试题比较,自主招生试题更注重于考查由基础知识(如“三角和角公式”等)到较为复杂的结论(如“和差化积公式”)的辐射和应用能力.

2．2 思维宽度

例3在单位圆O上任取3个点，求这3个点构成锐角三角形的概率.

(2011年复旦大学自主招生考试试题)

分析这样的题目需要且必须分2步走：先取圆周上的2n个等分点，求三点构成锐角三角形的概率；再对所得的结果求n趋向于无穷大时的极限.

图1

故

评注(1)引入辅助等分点,借助古典概型和极限思想,充分考查了学生的思维宽度;

(2)新课标高考对极限部分不作要求.

3 试题深度

数学作为理科学习与研究的基础知识,必然要求在学习中要不断深化,并在应用中加深认识的深度.

3．1 认识深度

例4掷n次硬币，记不连续出现3次正面向上概率为Pn.

(1)求P1,P2,P3,P4；

(2)求{Pn}的递推公式；

(2011年华约自主招生考试试题)

(3)与递推数列{Pn}相应的特征方程是

求导得

由式(1)，式(2)，式(3)得

(4)

由特征方程无重根,得

Pn=c1·αn+c2·βn+c3·γn，

0lt;Pn=|Pn|=|c1·αn+c2·βn+c3·γn|≤|c1|·|α|n+|c2|·|β|n+|c3|·|γ|n.

3．2 应用深度

例5一个圆柱杯瓶底及壁厚度不计，质量为a，重心在圆柱中轴线的中点上，向杯中倒入质量为b的水，恰好倒满，此时杯和水整体的重心还在圆柱中轴线中点上.

(2)当倒入多少质量的水时，整体重心最低.

(2011年华约自主招生考试试题)

解将圆柱杯侧过来看,不妨设杯高度为1.

因为b=3a,代入得

图2 图3

(2)设倒入质量为xb的水时,重心距杯底高度为y,0lt;x≤1,如图3.与第(1)小题类似可得

得

令a+bx=t,alt;t≤a+b,则

评注(1)“将圆柱杯侧过来看”有利于问题分析的直观性；

(2)生活中的许多知识在本质上也是数学问题,要把握其应用深度;

(3)本题事实上已从数学角度证明了“题设情形下，当且仅当整体重心距杯底高度等于杯中水的高度(即整体重心恰好位于水面上)时,整体重心位置最低”.