2011年高考平面向量试题简析

●

(海盐县教研室 浙江海盐 314300)

2011年高考平面向量试题简析

●沈顺良

(海盐县教研室 浙江海盐 314300)

课标和考试说明对平面向量提出了5个方面的要求:(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念、2个向量相等的含义、向量的几何表示；(2)关于向量的线性运算，要求掌握向量加减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘运算及其意义，理解2个向量共线的含义；(3)理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加减法和数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线条件；(4)理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示2个向量的夹角；(5)关于向量的应用，要求会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1 命题特点和知识类型

平面向量是每份高考试卷的必考内容之一，主要考查平面向量的概念、线性运算、数量积运算及其几何意义等，以选择题和填空题的形式为主，一般以容易题或中档题的形式出现．

1.1 向量的有关概念

(2011年湖南省数学高考文科试题)

分析本题考查了向量的模、坐标、相反方向向量等概念.由条件可得

根据其模的大小关系和方向相反可得

a=-2b=(-4,-2).

1.2 向量的平行与垂直

例2已知a与b为2个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=________.

(2011年全国数学高考文科试题)

解法1由(a+b)(ka-b)=0，展开得

k-1+(k-1)a·b=0，

即

(k-1)(1+a·b)=0.

由于a与b为2个不共线的单位向量，因此

a·b≠-1，

得k=1.

解法2由向量加减法几何意义，可得当k=1时,向量a+b与向量a-b互相垂直，直接得到k=1.

1.3 向量的夹角问题

例3已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为________.

(2011年安徽省数学高考理科试题)

分析本题通过向量的数量积求向量的夹角.

解由(a+2b)·(a-b)=-6，可得

a2+a·b-2b2=-6，

即

a·b=1，

因此

解得

lt;a,bgt;=60°.

1.4 向量及运算的几何意义

( )

(2011年全国数学高考理科试题Ⅱ)

∠BAD=120°，∠BCD=60°，

(2011年浙江省数学高考试题)

图1 图2

1.5 向量背景下的知识交汇

( )

A．C可能是线段AB的中点

B．D可能是线段AB的中点

C．C，D可能同时在线段AB上

D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

(2011年山东省数学高考试题)

(c,0)=λ(1,0)，(d,0)=μ(1,0)，

所以

c=λ，d=μ,

依题得

故选D.

2 考查亮点扫描

2.1 体现平面向量代数运算与几何意义这2种方法的选择

向量、向量的加减等线性运算、向量的数量积等运算都有其深刻的几何意义，因此不少向量及其运算的问题既能用向量代数运算来解决，也可以通过它们对应的结构特征利用几何图形的性质和结论来解决，这样不仅体现了试题的宽入口，也能在一定程度上体现不同的思维层次，在2种方法的选择解决中同时体现着数形结合思想的运用.例如：

例7若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，则|a+b-c|的最大值为

( )

(2011年辽宁省数学高考理科试题)

分析利用向量的数量积运算分别转化已知和所求，得到已知为

1-(a+b)·c≤0，

从而

|a+b-c|2=(a+b-c)2=3-2(a+b)·c≤1.

故选B.

图3

显然，选择利用向量及运算的几何意义解题，能够简化运算，过程也较简洁.但要求理解向量数量积为0、负的几何特征，也需要熟练掌握向量加减、模的几何意义，另外对平面几何中的基本图形和性质也有一定的要求.

又如全国卷中有以下选择题：

已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列4个命题

其中真命题是

( )

A.P1,P4B.P1,P3

C.P2,P3D.P2,P4

图4

2.2 体现平面向量基本定理的要求

平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，通过它可以将平面内任一向量表示为2个不共线向量的线性组合，其中包含着化归思想.运用平面向量基本定理能将一般几何图形通过其基底表示，从而能更一般地运用向量运算加以解决.例如：

(2011年湖南省数学高考理科试题)

因此

2.3 体现平面向量的工具作用

新课标要求体会向量是一种处理几何、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.运用向量方法可将几何性质的研究转化为向量的运算，使几何问题通过向量运算得到解决.譬如解析几何中的有关线段问题，向量表示既有线段的长度关系，又包括位置关系(平行、垂直和夹角)，利用向量的坐标表示能直接综合相应的条件求解.

(2011年浙江省数学高考理科试题)

变形得

代入x2+3y2=3即可解得x1=0，从而y1=±1，即坐标为(0，±1).

3 复习建议

在知识学习层面要求强化基础.复习中要贴近教材，在各类背景下理解平面向量的概念，理解向量相等、共线等的含义，切实注意向量性质、定理的使用条件.a·b=|a|·|b|cosθ，a·b=x1x2+y1y2,|a|2=a2=x2+y2,(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2等公式的关系非常密切，必须能够灵活、综合运用．在掌握向量各类运算的同时，重视理解向量运算对应的几何意义.教学中多采用易错概念的辨析，进行向量的3种语言转换，注意向量运算与实数运算的区别与联系.由于向量基本概念较多，要引导学生建立良好的知识结构，要善于与物理、生活中的模型进行类比与联想，在理解的基础上加以记忆.

在知识应用层面需要重视向量的工具作用.向量集数与形于一体，向量及其运算具有丰富的几何意义和物理意义，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此利用其直观性可以辅助解决抽象的符号表示的向量及其运算.相应地,向量方法也是几何研究的一个有力工具，其中将几何问题转化为向量问题是关键.向量与代数、三角、几何等有较多的综合，向量的表示有其代数的符号语言和几何图形语言，向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件等是向量工具的重要内容.在解决相关问题时，要自觉运用或创造条件，调整思维方向，建立恰当坐标系或适当确立基底，运用向量工具加以解决.

向量的双重性体现了数形结合思想，向量的坐标表示实质是将向量问题转化为实数的运算，通过解方程或方程组的运算加以解决，体现了方程思想在向量中的运用.而利用向量与物理和生活实际的密切联系，在应用向量解决实际问题时体现了数学建模思想，在复习教学中要注重有效渗透上述数学思想.