中位数排序抽样下参数的极大似然估计

张建军，马巧云

(河南农业大学 信息与管理科学学院，河南 郑州 450002)

在统计推断中，通常采用简单随机抽样(SRS)的方法获得实验所需样本，为了对总体做出精确可靠的论断，总是希望获得的样本包含更多总体的信息.为此，McIntyre[1]提出了另一种收集数据的方法——排序集抽样(RSS).

Zenhua chen[2]基于排序抽样方法研究了总体参数的极大似然估计，并说明了基于这种方法进行估计比简单随机抽样更有效.然而，由于实际排序中不可避免会出现错误，这会给统计推断的结果造成一定的偏倚，为此，本文根据Muttlk[3]的思想，将排序抽样方法进一步改进，提出了中位数排序抽样，并基于这一抽样方法研究了正态总体参数的极大似然估计问题，进一步从参数估计渐进效率的角度说明了该估计方法的优良性.

{xi(p)j,i=1,2,…,k;j=1,2,…,m}

1 主要结果

设随机变量X来自正态总体，密度函数为f(x;θ),分布函数为F(x;θ),其中θ=(μ,σ)为未知参数.

(1)

中位数排序集样本zi(p)j,i=1,2,…,k;j=1,2,…,m的联合密度函数为:

(2)

引理2 排序集抽样方法下，容量为mk的样本的信息矩阵为：

证明参看文献[2].

下面利用引理1计算样本容量为mk时中位数排序样本的信息矩阵.

从而：

另一方面，根据引理2可以得出相同样本容量下，基于排序集样本的信息矩阵：

用类此的方法，当参数μ已知时，可以得到关于参数σ的相应结果.

利用引理1可知，当样本容量为mk时，

根据引理2容易得出:

对于k为偶数的情形，可以用类此的方法处理.

表1 参数μ渐进效率的比较

2 估计的优良性

方差是衡量一个估计量好坏的重要标准，反映了在大样本下估计值偏离真实值的程度，下面基于相同样本容量，比较三种抽样方法下参数估计的渐进方差，得到下列结果：

对于参数σ同样有如下结论：

3 实例分析

本节给出两个具体的正态分布，分别计算当k取不同值时，在这三种抽样方法下总体参数估计的渐进效率.

假设总体X服从σ=1的正态分布，即X～N(μ,1),利用上述方法，可计算三种抽样方法下参数μ的极大似然估计的渐进效率，具体结果见表1.

对于刻度参数σ的估计问题，假设μ=0，即X～N(0,σ2),同样的方法可以计算σ的极大似然估计的渐进效率，结果见表2.

4 结论

综合以上分析知道，正态总体下，与简单随机抽样相比，基于中位排序样本对参数进行极大似然估计提高了估计的精度，而且，该抽样方法避免了排序中出现的错误，较排序抽样下参数的极大似然估计的结果更具有可靠性，更有说服力，是总体参数的一种新的优化估计方法,对于其它一些总体参数的估计问题，有兴趣的读者可以做进一步探讨.

表2 参数σ渐进效率的比较

参考文献:

[1]McIntyreGA.Amethodofunbiasedselectivesamplingusingrankedsets[J].AustralJAgricultureResearch,1952,3:385-390.

[2]ChenZ.Theefficiencyofranked-setsamplingrelativetosimplerandomsamplingundermulti-parameterfamilies[J].StatisticaSinica,2000,10:247-263.

[3]HAMuttlak.Medianrankedsetsampling[J].JournalofAppliedScienceStatistical,1997,6(4):245-255.

[4]茆诗松,王静龙，濮晓龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版社,1998:228-229.

[5]陈希儒.数理统计引论[M].北京:科学出版社,1981:330-336.