反例在高等数学教学中的作用与应用

王德印

盘锦职业技术学院（盘锦 124010）

反例在高等数学教学中的作用与应用

王德印

盘锦职业技术学院（盘锦 124010）

实例讨论反例在高等数学教学中对学生思维训练的作用，案例说明该教学法的应用对提高教学效果的体会。

高等数学 反例 作用 应用

1 反例在高等数学教学中的作用

高等数学的反例是指符合某一个命题的条件，但又与该命题结论相矛盾的例子。正确的命题需要严密的证明，错误的命题则靠反例否定。

1.1 有助于基本概念的深化理解

关于二元函数的极限的概念，现在的描述性定义虽然比过去的“ε−σ”定义简单，但（x,y）→（x0,y0）是表示点（x,y）以任何方式接近于点（x0,y0），所以在讨论极限是否存在时，只要选择两条不同路径，而按这两条路径计算的极限值不同，既可说明极限不存在。

例 讨论二元函数

→（0,0）时是否存在极限？

1.2 有助于基本定理的理解掌握

在高等数学中，学生对定理条件与结论之间的“充分”、“必要”性的理解通常是学习难点。而反例使学生打开眼界，拓宽思路，从而全面正确理解高等数学的基本定理。

拉格朗日定理是微积分的基本定理，关于它的学习，一般先介绍定理（若函数y=f（x）满足条件：①f（x）在[a,b]上连续；②f（x）在（a,b）上可导；则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得成立），再结合图形给予证明。对给定的具体函数,要求能够判断其是否在所给区间上满足指定的定理的条件，并能求出满足定理中的ξ。

1.3 有助于错误命题的有效纠正

在一元函数中有两个重要结论。一是可导必连续，连续未必可导；二是如果f（x）在某某区间（a,b）内只有一个驻点x0，而且从实际问题本身又可以知道f（x）在该区间内必定有最大值或最小值，则f（x0）就是所要求的最大值或最小值。按照常规的思维模式，人们很自然把它们推广到二元函数。

2 反例在高等数学教学中的应用

在高等数学教学中加强反例思想的渗透，可以强化学生对一些基本概念和定理的学习和理解，并可以激发学生学习数学的兴趣，进一步提高教学效果。

2.1 恰当构造反例，加深对概念的理解

理解概念是学生学好高等数学的基础，也是其能力培养的先决条件。通过反例，从反面消除一些容易出现的模糊认识，严格区分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本质。

在高等数学的极限概念教学中，恰当地构造反例，会得到事半功倍的效果。在极限概念的学习中，学生认为：①有界函数的极限一定存在；②如果存在，但不存在，那么不存在。上述两种想法都是错误的。对于①构造反例，因为当x→0时，f（x）不能无限接近于一个确定的常数A，因此，极限不存在；对于②构造反例因为不存在，但

2.2 正确应用反例，加深对定理的理解

定理教学中，反例和证明具有同等重要的地位，通过严密的证明才可以肯定一个命题的正确性，而巧妙的反例即可否定一个命题的正确性。

在高等数学的定理教学中，正确地应用反例，能够全面地理解定理的条件与结论，更好地应用定理解决问题。关于罗尔定理（若函数y=f（x）满足条件：①f（x）在[a,b]上连续；②f（x）在（a,b）上可导；③f（a）=f（b）。则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得 f′（ξ）=0成立）的教学，因为它只是拉格朗日的特例，一般是结合图形给予说明，不做重点讲解。但可以应用反例加深对定理的理解，说明罗尔定理的三个条件是使f′（ξ）=0成立的充分条件，而不是必要条件。

2.3 有效利用反例，纠正习题中的错误

学习高等数学需要解题，在解题中要鼓励学生从多方面进行思考，多角度进行探索，挖掘新思路；鼓励学生去联想发挥，改变条件，对习题进行拓宽。

有些失误难以通过正面途径检查出来，而举反例就能在较短的时间内，较直观地反映出错误所在，而且，由此往往能产生正确的途径。

“反例”揭示了数学上这种“失之毫厘，差之千里”的特点，达到了教学中那种“打开眼界，拓宽思路”的效果。因此，在高等数学教学中，广大教师应重视和恰当地应用反例。

[1]同济大学应用数学系.高等数学.北京:高等教育出版社,2007.

[2]侯风波.应用数学. 沈阳:科学出版社,2007.

[3]马守春.微积分中反例的作用和构造.高等数学研究,2007（1）.

[4]吴波.浅谈高等数学课中微分中值定理教学方法--反例教学法.思茅师范高等专科学校学报,2002（3）.

齐婷婷）