新老教材中直线与圆锥曲线差异问题比较研究

玉邴图

(广南县第一中学，云南广南663300)

本文所述的新教材是指普通高中课程标准试验教科书人教A版数学必修2和选修2－1［1－2］。老教材是指全日制普通高级中学教科书人教版数学(必修)第二册(上)［3］。

1 教材中涉及直线与圆锥曲线部分问题比较

1.1 例习题的比较

新老教材中例题、习题的比较见表1。

表1 新老教材中例题、习题的比较

续 表

1.2 比较后的启示

直线与圆锥曲线的位置关系既是解析几何的重要基本知识，又是高考必考的重点内容，在每年各省市的高考中都有一个题，且有一定的综合度，一般排在第21题或第22题。考查的主要内容是已知条件求直线和圆锥曲线方程，或是已知直线与圆锥曲线方程的位置关系研究其一些几何量的性质，这一类问题数学思想方法多，如数形结合思想、函数与方程思想、等价转换思想，因此在高考中常常以直线与圆锥曲线为载体全面考查学生的综合能力，也是高考数学成绩区分度较大的一个题目。

从上述表中的比较我们知道，在直线和圆锥曲线的位置关系中，老课本涉及的问题甚少，新课程课本涉及的问题甚多，题型也多姿多采，并且非常注重圆锥曲线弦长问题，有焦点弦，顶点弦，中点弦问题等。

1)在直线与圆中，老教材知识面单一，而新教材比老教材细化，并单独编成一节(4.2.1)来介绍，其涉及知识面广，形式多样，要求较高，并涉及实际应用问题。新课改领先省市的高考题就有所体现，如下面的例题。

例1 (2008年高考江苏卷第18题)设二次函数f(x)=x2+2x+t(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C。

(1)求实数t的取范围;

(2)求圆C的方程;

(3)圆C是否经过某定点，说明理由。

例2 (2009年江苏高考第18题，满分16分)直角坐标系xoy中，已知圆C1∶(x+3)2+(y－1)2=4和圆 C2∶(x－4)2+(y－5)2=4。

(1)若直线l经过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为求直线l的方程。

(2)设P为平面上的点，满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P坐标。

例3 (2008年海南、宁夏卷)已知m是实数，直线 l∶mx－(m2+1)y－4m=0 和圆 C∶x2+y2－8x+4y+16=0。

(1)求直线l的斜率的取值范围;

1.1 文献资料法 本研究基于中国期刊网及图书馆数据资料库的搜索平台，以“武术散打”“散打运动员”“技术特点”“中量级别”等为关键词，查阅相关资料近20篇，借鉴前人研究经验，梳理中量级别散打运动员技术发展现况，探寻技术发展特点，以期为散打运动员技术发展提供理论基础。

2)新课本非常重视圆锥曲线弦长问题和弦的几何性质，如第2章复习参考题B组第7题:经过抛物线y2=2px(p＞0)焦点F的直线交抛物线于AB，以AB为直径的画圆，借助信息技术工具，观察它与抛物线准线的位置关系，你得到什么结论?相应于椭圆、双曲线如何?你能证明结论吗?”这是圆锥曲线中一条非常重要的几何性质，其结论是:“以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，以AB为直径的圆与椭圆的准线相离，以AB为直径的圆与双曲线的准线相交”。新课本所增加这些综合内容也与近年来新课程省市的高考试题十分吻合，所以在平时的教学我们要有目的有意识的强化。

3)从比较的表中知道，新课本主要涉及的是圆锥曲线焦点弦和顶点弦，而焦点弦长题目甚多，反复出现，笔者认为，应该将部分题目置换为经过圆锥曲线中心的弦长和经过圆锥曲线准线与对称轴交点的弦长问题，以增加形式多样，多姿多彩的题型，这是因为不管求什么弦长，思路方法都是一样的，不会增加难度。

2 教学建议浅说

2.1 研究直线与圆锥曲线性质

解析几何是用代数方法来研究几何问题的，它是数形结合思想的产物，直线与圆锥曲线的综合问题，是揭示出直线和圆锥曲线的本质属性，在解题中，除了会应用两点间的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、线到线的角公式、引入参数消去参数和韦达定理等外。还要学会灵活运用圆锥曲线的几何性质和数形结合的方法，化繁为简、直观简洁的解决问题。要充分挖掘题目所隐含的几何性质和灵活应用平面几何的有关性质，这样往往可使繁杂问题简单化。另一方面，在平时的教学中要引导学生掌握一些重要结论的证明思路、方法和技能，这些方法和技能对我们合学生在今后解决许多相关问题会有帮助。

2.2 夯实基础，重视通性通法

直线与圆锥曲线综合题都是由若干基础知识点包装组合而成的，故要深刻理解并熟练掌握直线和圆锥曲线的基础知识和基本方法，构建有关基础的知识网络，尤其要注意一些常规问题的基本解法，在抓住通性通法的同时，有目的有意识地训练有关减少解析几何运算量的常用解题技能和技巧，从而使学生能准确、迅速地解决直线和圆锥曲线的综合问题。

2.3 突出重点，注重知识整合

2.4 强化运算，力求避繁就简

解析几何运算能力是直线和圆锥曲线最突出的特点，而运算的求简意识则集中体现在直线和圆锥曲线的有关综合问题之中，所以，在遵循“设——列——解”的程序化运算的基础上，突出解析几何的设而不求的运算本质，努力帮助学生克服重思路方法，轻运算技能技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈，充分发挥圆锥曲线定义和平面几何的联用，化难为易，化繁为简的作用。

2.5 复习过程要注重回归课本

回归课本是正道，回归课本是硬道理，多年来，一线教师和高考命题专家一直都倡导高考应以课本为本，课本是高考的依据，老教材和新课程教材的省市高考题仍然体现这一倡导，这是因为许多高考试题源于课本，甚至不回避课本中的原题，即使是综合题，也是由课本的基础题整合加工而成的，并且试题的表达方式和语言叙述尽可能与课本保持一致，充分体现课本的基础作用。对于数学课本而言，它是数学知识和数学思想方法的重要载体，是教师和学生在教与学的主要依据，课本是主干知识的体现，是几代编写教材的人的集体智慧的结晶，具有很强的权威性、指导性、规范性、迁移性和可塑性。因此，高考命题高度关注课本在命题中的作用，充分发挥课本作为高考试题来源的功能。故在引导学生进行高考复习应试中，要要注重回归课本，熟记课本基本概念、公式、方程，并会叙述与证明。课本上的例习题要条条过关，要充分发挥课本的基础性和典型性的特点，通过解答课本例习题落实基础，培养技能，通过多解、多变、反思、推广、引申、应用来掌握解题规律，培养学生良好的思维品质和提高应试能力。

例如对课本涉及的圆锥曲线弦问题，可引导学生推广引申证明如下几个公式:

(1)(焦点弦的引申)过横向型圆锥曲线焦点F作斜率是k或倾斜角为θ的直线交圆锥曲线于P，Q两点，若离心率是e，焦点到相应准线距离为p，则(证明过程见教材［1］)。

(2)(顶点弦的引申)过横向型圆锥曲线顶点A作斜率是k或倾斜角为θ的直线交圆锥曲线的另一点于P，若离心率是e，焦点到相应准线距离为p，则(证明过程见教材［2］)。

如果我们掌握它们的证明思路和方法，那么圆锥曲线弦问题便迎忍而解，近年来，新课程高考就与这两个公式有缘。例如:

这两道高考题分别取材于课本例习题的焦点弦和顶点弦问题。

2.6 认真研究高考考什么

要认真研究直线和圆锥曲线位置关系的重点热点和难点，特别要研究高考直线和圆锥曲线的位置常考什么，怎么考，找准抓手，如何应对，在引导学生应试策略上下功夫，只有这样做，我们才能以不变应万变，也才能提升直线和圆锥曲线问题的考试质量。

2.7 加强集体备课发挥群体力量

“知识教育——能力教育——创新教育”是社会发展和新高考的需要与产物，也是人们对教育功能的认识和考试要求深入的结果，传统教育忽视开发和培养创新思维能力，缺乏创造性，而部分教师观念滞后、方法陈旧严重地阻碍了创新教育，适应不了现在高考创新的需要。为此我们应该大力倡导集体备课，汇集个体智慧，形成合力，整合成一个具有新特点、新思路的优质的备考方案。充分利用集体备课时间，解决教学中存在的问题，交流教学经验。既丰富备课课堂的信息，又提高了教师的业务水平。

［1］普通高中课程标准实验教科书数学(必修2)人教A版［M］.北京:人民教育出版社，2007:81－144.

［2］普通高中课程标准实验教科书数学(选修2－1)人教A版［M］.北京:人民教育出版社，2007:32－82.

［3］全日制普通高级中学教科书(必修)数学(第二册(上))［M］.北京:人民教育出版社，2006:34－133.