关于矩阵多项式秩的几个恒等式＊

宋小力

(青岛酒店管理职业技术学院基础部,山东青岛 266071）

关于矩阵多项式秩的几个恒等式＊

宋小力

(青岛酒店管理职业技术学院基础部,山东青岛 266071）

矩阵运算的秩一般以不等式的形式出现,给矩阵秩的计算和应用造成诸多不便.利用互素多项式乘积秩的恒等式以及方阵幂秩的分块矩阵表示,给出了一般矩阵多项式秩的分块矩阵表示以及在矩阵可以对角化情况下的一个恒等式.

矩阵;秩;多项式

引言

秩是矩阵的一个重要而应用广泛的数值特征.在矩阵论中,矩阵秩的结果多以不等式形式出现,给矩阵秩的进一步应用造成诸多不便.因此,对矩阵秩恒等式的构造和研究是矩阵论中的一个基本问题.文献[1]将矩阵乘积秩的 Sylvester不等式的推广形式中的矩阵进行限定,给出了 A+kiIn型矩阵乘积秩与矩阵秩和的一些恒等式结果,并提出了下列猜想:设,A∈Fn×n,k1,k2,…,kt∈F.当 k1,k2,…,kt满足适当条件时,则

1 预备知识

在本文的讨论中,主要应用下面的两个引理.

引理 2[4]设 A∈Fn×n.则对任意正整数 k,有

式中分块矩阵的主对角线上有 k个 A.

2 主要定理及证明

定理 1 设 f(x)是数域 F上的 m(m>0)次多项式,c1,c2,…,ct是 f(x)的所有互异复根,重数分别为 s1,s2,…,st.则对任意 n阶方阵 A,下列矩阵多项式秩恒等式成立:

证明 由条件可设 f(x)在复数域上的典型分解式为 f(x)=a(x-c1)s1(x-c1)s2…,(x-c1)st,其中 a≠0是 f(x)的首项系数.由 c1,c2,…,ct互异,则 (x-c1,x-c2,…,x-ct)=1,故 ((x-c1)s1,(x-c1)s2,…,(xct)st)=1.

故由引理 1得

故结论成立.

推论 设 A,B为任意的 n阶方阵,令φA(x),φB(x)分别为 A,B的特征多项式且 (φA(x),φB(x))=d(x),则 r(φA(B))=r(d(B)),r(φB(A))=r(d(A)).

证明 由φA(A)=0,φB(B)=0以及矩阵秩的基本性质可得.

对数域 F上的 m(m>0)次多项式 f(x)以及 n阶方阵 A,若 m≥n,令φA(x)=|xIn-A|为 A的特征多项式并与 f(x)进行带余除法,即设 f(x)=q(x)φA(x)+k(x),其中 k(x)=0或 degk(x)

定理 2 设 f(x)是数域 F上的 m(m>0)次多项式,c1,c2,…,ct是 f(x)的所有互异复根,(f(x),f′(x))=d(x).对任意 n阶方阵 A,若 d(A)可逆,则下列矩阵多项式秩恒等式成立:

即结论成立.

当方阵 A可以对角化时,下列结论给出了 r(f(A))与A的某些特征根重数的关系式.

证明 由矩阵 A可以对角化,则存在 n阶可逆矩阵 P,使

对多项式 f(x),由矩阵运算以及 (4)可得

由 Sf∩SA={λi1,λi2,…,λit},则当 ij∈{i1,i2,…,it}时 f(λij)=0,当 ij∉{i1,i2,…,it}时 f(λij) ≠0.故

故结论成立.

[1]李书超,蒋君,向世斌,等.一类矩阵秩的恒等式及其推广[J].武汉科技大学学报,2004,27(1):96-98.

[2]余世群.关于“一类矩阵秩的恒等式及其推广”一文的注记[J].武汉科技学院学报,2006,19(10):28-29.

[3]宋小力.一类矩阵乘积秩的恒等式及应用[J].四川兵工学报,2010,31(3):135-137.

[4]王廷明.关于矩阵的和与乘积秩的分块矩阵表示[J].枣庄学院学报,2003,20(5):33-36.

Several Identical Equations about the Ranks of theMatrix Polynom ials

SONG Xiao-li

(Basic Department ofVocational&Technical College,Qingdao HotelManagement,Qingdao Shandong 266071,China)

The ranks of matrix operations usually show the for ms of inequalities,which are inconvenient for calculation and application of the matrix ranks.However,the identical equations of the ranks of copr ime polynomials,aswell as the block matrix denotations of the square matrix’s power ranks,are both concerned in this paper.Then the expressions of the ranks of general matrix polynomials are obtained by virtue of block matrices.Meanwhile,an identical equation is also

under the conditions of diagonalizable matrices.

matrix;rank;polynomial

O 151.21

A

1673-2103(2010)05-0036-03

2010-07-20

宋小力 (1965-),女,山东青岛人,副教授,研究方向:矩阵理论与应用.