基于黄金关系的粗糙集模型及其应用＊

梁俊奇,赵巧玲

(1.商丘师范学院数学系,河南商丘 476000;

2.武汉大学数学与统计学院,湖北武汉 430072）

基于黄金关系的粗糙集模型及其应用＊

梁俊奇1,2,赵巧玲1

(1.商丘师范学院数学系,河南商丘 476000;

2.武汉大学数学与统计学院,湖北武汉 430072）

粗糙集的核心概念是基于等价关系的上下近似.给出了基于黄金关系的粗糙集模型,并研究了该模型的简单应用.

黄金关系;粗糙集模型;应用.

引言

粗糙集 (Rough Set)理论是 Pawlak.Z教授于 1982年提出的一种能够定量分析和处理不精确、不一致、不完整信息与知识的数学工具[1-3].它的基本思想是通过关系数据库分类归纳形成概念和规则,通过不可区分关系对事物加以分类,进而对目标近似实现知识获取和决策规则.

古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯 (Pythagoras)认为,“凡物皆数”,即每个事物都可以数字化,也就是说所有事物在最后分析中都可用数字表示出来,是一种数量关系.根据这个思想,古代数学家出乎意料地发现一个神秘的数字,这就是 0.618.

利用 0.618定义一种不可区分关系,因为这个数字是[0,1]区间上的最优选点,因此以 0.618作为不可区分关系被用作划分也应当是较好的划分之一,姑且称之为黄金关系.本文给出基于黄金关系的粗糙集模型,并讨论其简单的应用.

1 基于黄金关系的粗糙集模型

1.1 黄金数的价值

曾被德国科学家开卜勒称赞为几何学中两大“瑰宝”之一的黄金数 0.618(另一件为勾股定理),确实有着黄金一样的价值.在研究植物叶序问题时发现:1)叶子在茎上的排列遵循黄金比.2)叶子在茎上环绕的圈数和它绕一个周期时茎上叶数之比随植物不同而异.如榆树为,山毛榉为,樱桃为,梨为,柳为,……,让我们感到美妙的是其分子和分母分别为 1,1,2,3,5,………,2,3,5,8,13,……….这恰恰是两个斐波那契数列.

在股票分析中,美国人艾略特于 1934年在研究股指变化规律时,提出了所谓“波浪理论”,该理论可对许多经济活动作出预测和估计,而其中的重要结论是:这类经济活动的指数波动遵循斐波那契数列规律而变化.有趣的是,斐波那契数列前后两项之比,越来越接近黄金数 0.618.

1.2 基于黄金关系的粗糙集模型

设[a,b]是一个区间,它被 0.618分成 n个小区间.每个小区间

被看成一个划分的等价类.于是在这个区间[a,b]上可定义一个不可区分关系 IR如下:

所以,IR在每个小区间上是传递的,因此 IR可看成在[a,b]上是传递的.由此整个区间 [a,b]被 0.618分成若干个小区间,直到 a+n×0.618>b,其中 n是小区间的总数.

首先讨论用 0.618定义的不可区分关系 IR来构造 Rough集理论中的下近似集和上近似集.

设 S=(U,IR)是近似空间,根据毕达哥拉斯公理,U上的每个对象都可被数字化.如果 x∈U不是数字,我们可定义一个映射 f,将非数字的对象映射成数字对象.因此,不失一般性,设 a=min(x∈U)和 b=max(x∈U),于是得到对应于 U的数值区间.

定义 设 U是非空有限论域,(X⊂U),则 X必然对应一个子区间[aX,bX]⊂[a,b],不可区分关系 IR关于[aX,bX]的下近似和上近似被定义如下:

其中[x]IR是 x关于 IR的等价类,X⊂U是 U上的任意子集,Φ是空集.

2 基于黄金关系的粗糙集模型应用举例

设某家电商品作为论域 U,X⊂U,则 X必然对应一个区间[aX,bX],其中 aX、bX是某种家电商品 X的最低价格和最高价格.

由粗糙集正域理论得知:

若 ∀x∈X,且θx∈([aX,bX]),则 x为畅销商品,其中θx是商品 x的价格.

十几年前,吴振奎教授给出了一个实用小康型消费公式[4]:

小康型消费价格 =0.618×(高档消费价格 -低档消费价格)+低档消费价格

意思是说,您在选购商品时,若根据自己的财力状况认为高档价格过于昂贵,而低档价格的商品款式、性能等不尽人意,那么您可以选购价格为上面公式所给出的档次之商品——它的价格中等偏上,堪称“小康”水准.就拿家庭电脑来讲,商店中的高、低档价格相差数千元,那里的高档电脑非一般家庭能力所及 (况且家用也无必要),这样您在选购前应先确定购买的基本档次.比如您打算买台显屏 17寸的品牌机,高档价格约为 10000元,低档价格约为 4000元,那么您的小康型消费水准为:(10000-4000)×0.618+4000=7708(元).换言之,价格为 7700元左右为宜.市场调查发现,这正是大多数家庭所喜欢且能接受的档次.显然上述公式对指导商品生产也有实际价值.

下面用本文的粗糙集模型对上述事实加以验证.

设[aX,bX]=[4000,10000],则([aX,bX])={x[x]IR⊂ [aX,bX]}=[6472,8944].也就是说,价格在这个范围内的商品最畅销,特别是价格在 8000元 (即粗糙集正域集的黄金数)的商品会十分火爆.这一结论与吴教授的小康公式是吻合的.

[1]PawlakZ.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Science,1982,(11):341-356.

[2]PawlakZ.Rough sets:TheoreticalAspects of Reasoning aboutData[M].Boston:KluwerAcademic Publishers,1991.

[3]张文修,吴伟志,梁吉业,等.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2001.

[4]吴振奎.一个实用的小康型消费公式[J].天津商学院学报,1994,(4):79-80.

Rough SetModel Based on Gold Relationship and Its Applications

L IANG Jun-qi1,2,ZHAO Qiao-ling1

(1.Dept.ofMaths,Shangqiu NormalUniversity,Shangqiu Henan 476000,China;
2.College ofMaths&Statistics,Wuhan University,Wuhan Hubei 430072,China)

The core conept of rough set is based on the upper and lower approx imation equivalence based on gold relationship.In this paper the rough setmodel based on gold relationship is given and its applications are discussed.

gold relationship;rough setmodel;application

TP 18

A

1673-2103(2010)05-0017-02

2010-06-16

河南省自然科学基金资助项目 (094300510062);河南省教育厅自然科学基金资助项目 (2008B120006);河南省政府决策招标基金资助项目(2009B379)

梁俊奇 (1958-),男,河南宁陵人,教授,硕士研究生导师,在读博士研究生.研究方向:智能计算与不确定性信息处理.