一般稳态空时中的拉普拉斯算子＊

张建华

(菏泽学院物理系,山东菏泽 274015）

一般稳态空时中的拉普拉斯算子＊

张建华

(菏泽学院物理系,山东菏泽 274015）

从欧氏空间梯度与散度的基本概念出发,导出四维弯曲空时中的梯度与散度,得到一般稳态空时中的标量、逆变矢量与协变矢量的Laplace算子.

梯度;散度;Laplace算子;四维弯曲空时;稳态空时

引言

众所周知,在欧氏空间三维直角坐标系中的梯度算子为

拉普拉斯算子定义为梯度的散度

欧氏空间任意正交曲线坐标系中的Laplace算子为[1]

三维欧氏空间和四维闵可夫空时都是平直空时,空时曲率为零;弯曲空时有两种:黎曼空时——正曲率空时,和罗氏空时——负曲率空时.根据广义相对论,大质量天体使它周围的空时弯曲.在弯曲空时中,质点沿短程线运动,物质的能量——动量张量与空时曲率、空时度规满足下述 Einstein场方程[2]:

与在平直空时中不同,在弯曲空时中描述物质运动的动力学方程不仅与质点所受的主动力有关,而且要受到空时度规的影响;与动力学方程密切相关的Laplace算子当然也受空时度规的制约.

在弯曲空时中,如何推导出 Laplace算子的具体形式呢?Vaidya-Bonner空时中的 Laplace算子[3]和一般球对称动态空时中的Laplace算子[4]已经给出.本文将推导出一般稳态空时中的拉普拉斯算子.

1 四维弯曲空时中的梯度与散度

1.1 矢量的梯度与散度

与欧氏空时中梯度算子的表达式 (1)不同,在四维弯曲空时中必须引入空时联络Γρμν,它是由于弯曲空时中相邻两点时空性质的差异而引入的一个系数.粒子物理学中,微观粒子可分为费米粒子和玻色粒子;前者是自旋为半整数的粒子,后者是自旋为整数的粒子.其中自旋为零的粒子叫做标量粒子,例如π介子、η介子、κ介子等,相应的量子化场叫做标量场;而自旋为 1、质量为零的粒子叫做矢量粒子,例如光子,相应的量子化场叫做矢量场.还有旋量场,它表示自旋为的粒子.对于矢量,必须区分逆变矢量和协变矢量.

逆变矢量的协变微分定义为逆变矢量的梯度[5],即

协变矢量的梯度定义为它的协变微分,即

逆变矢量的梯度的缩并定义为逆变矢量的散度,即

求协变矢量的散度,首先通过度规升降指标,将协变矢量变为逆变矢量,然后缩并,即

式 (7)和式 (8)可以分别变成

以及

式 (9)、式 (10)分别是逆变矢量和协变矢量的散度的度规表达式,也叫做逆变矢量和协变矢量的 Laplace算子表达式.

1.2 标量的梯度与散度

在四维弯曲空时中,设有标量场Φ,它的梯度为

这是一个协变矢量.按照式 (10),它的散度为

式 (12)就是标量的散度表达式,又叫做标量的 Laplace算子.

2 一般稳态空时中的 Laplace算子

2.1 一般稳态空时线元

静态空时通常指施瓦希空时和 Reissner-Nordström空时,它们的空时线元分别是[6]

上两式中的 r、m、Q分别表示天体的球半径、质量和电荷,它们均不随时间变化.

稳态空时是黎曼空时的一种,一般包括 Kerr空时和 Kerr-Newman空时,是非球对称的轴对称空时.Kerr空时度规是[7]

Kerr-Newman空时度规是

式 (15)和 (17)中的 r、m、a分别表示天体半径、质量和单位质量的角动量;而 Q表示 Kerr—Newman黑洞所带电荷.

将ωB=2m ar以及 B代入式 (15),进行恒等变形,则式 (15)可以变为

比较式 (17)和 (19),发现式 (17)表示一个带电转动黑洞的外部空时,而式 (19)则表示不带电的转动黑洞的外部空时,它们都是稳态空时.

2.2 一般稳态空时中的Laplace算子

为使研究的问题具有一般性,可设式 (17)作为一般稳态空时的空时线元.由式(17),可以得到度规行列式之值为

度规的逆变形式为

将式 (20)、(21)代入式 (10),可得一般稳态空时中标量场的拉普拉斯算子为

将式 (20)、(21)代入式 (9),得一般稳态空时中逆变矢量场的 Laplace算子为

注意,该式中 (a0,a1,a2,a3)=aμ,是逆变矢量的四个分量.

将式 (20)、(21)代入式 (10),得一般稳态空时中协变矢量场的 Laplace算子为

3 结论与展望

我们已经从欧氏空间梯度与散度的概念出发,推导出四维弯曲空时中矢量及标量的梯度以及 Laplace算子的一般表达式;在此基础上得到了一般稳态空时中的标量及矢量的 Laplace算子,它们分别由式 (22)、(23)、(24)所表示.

1)由式 (22),令 Q=0,可得 Kerr黑洞周围空时中标量场的 Laplace算子:

式中:Δ=r2+a2-2m r.

2)在式 (25)中,令 a=0,Q≠0,则得 Reissner-Nordström空时中标量场的 Laplace算子:

3)若令 a=0,Q=0,则得 Schwarschild空时中标量场的 Laplace算子:

4)由式 (26)、(27),不难导出矢量场在 Kerr黑洞周围空时中、Reissner-Nordstr?m空时中、Schwarzschild空时中的 Laplace算子.

[1]谢树艺.矢量分析与场论[M].北京:人民教育出版社,1978:70.

[2]王永久,唐智明.引力理论与引力效应[M].长沙:湖南科技出版社,1990:92.

[3]张建华.Vaidya-Bonner空时中的 Laplace算符[J].商丘师范学院学报,2007,30(3):57-60.

[4]张建华.一般球对称引力场中的拉普拉斯算子[J].菏泽学院学报,2008,30(2):56-60.

[5]刘辽,赵峥.广义相对论[M].第 2版.北京:高等教育出版社,2004:52.

[6]赵峥.黑洞的热性质与时空奇异性[M].北京:北京师范大学出版社,1999:47-54.

[7]Kerr R P.Gravitational Field of a SpinningMass as an Example of Algebraically SpecialMetrics[J].Phys Rev Lett,1963,11:237.

Laplace Operator in Generally Steady State Space-T ime

ZHANG Jian-hua
(Department of Physics,Heze University,Heze Shandong 274015,China)

Starting from the basic conceptions of gradient and divergence in Euclidean space,we drive out the gradient and divergence in 4-D curve space-time,and the Laplace operator of a scalar,or converter and covariant vector in generally steady state space-time are obtained.

gradient,divergence,Laplace Operator,4-D curve space-time,steady state space-t ime.

O 175.3

A

1673-2103(2010)05-0055-04

2010-03-08

国家自然科学基金资助项目 (1077302)

张建华 (1946-),男,山东单县人,教授,研究方向:黑洞物理和宇宙学.