硕士生入学数学试题中有关线性方程组题型解析＊

梁存利

(西藏民族学院教育学院,陕西咸阳 712082）

硕士生入学数学试题中有关线性方程组题型解析＊

梁存利

(西藏民族学院教育学院,陕西咸阳 712082）

总结了硕士研究生入学数学统考试题中有关线性方程组的题型,主要有不含参数的线性方程组求解、含参数的线性方程组求解、线性方程组公共解的求解和矩阵秩求解四种类型.并且归纳出四种题型相应的求解方法.

硕士生;入学试题;线性方程组;题型;解析

线性代数是高等学校理工科及经济学科各专业普遍开设的一门数学课程,随着计算机技术的发展与广泛应用,使大量工程与科研中的问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决,这就使得以处理离散量为主的线性代数成为从事科研和工程设计的科技人员必备的数学基础知识.在 2009年全国统一命题的硕士研究生入学数学考试中,线性代数就占到 34分,其中大题两道占 22分,小题三道占 12分,并且从 2001～2009年的全国统一命题的硕士研究生入学数学考试试题中可以发现,线性代数所占比例逐年增大.近几年硕士研究生入学数学考试试题中有关线性方程组的题型,主要有不含参数的线性方程组求解、含参数的线性方程组求解、线性方程组公共解的求解以及矩阵秩求解四种类型,下面以硕士研究生入学数学试题为例对四种类型的问题详细解析.

1 不含参数的线性方程组求解

这类题型一般都是基础题型,主要用消元法,即对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化为行最简矩阵即可.

分析 此题实际上就是求解两个线性方程组,利用初等行变换把增广矩阵化为阶梯型即可.

同理也可求解出ξ3=k2(-1,1,0)T+k3(0,0,1)T+(-1/2,0,0)T(此处省略).

2 含参数的线性方程组求解

含参数的线性方程组解的问题主要从两个方面命题,第一个方面就是直接命题法,即针对不同的解的情况,对参数进行讨论,如 2008年硕士研究生入学考试数学一试题中第 21题、2004年硕士研究生入学考试数学一试题中第 20题等都是这个类型的;第二方面就是已知解的的情况求参数的值.对这类问题常采用以下方法[1,2].

1)初等行变换法.就是对方程组的增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵,然后根据系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等,讨论参数在什么情况下有解?讨论参数在什么情况下无解?有解时再求出一般解.

2)当方程的个数与未知数的个数相同时,若系数行列式不等于零,可用克莱姆法则;若系数行列式等于零,列出增广矩阵用消元法求解.

例 2(2004年试题数学一) 设有齐次线性方程组:

试问 a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

解法 1(初等行变换法) 对方程组的系数矩阵作初等行变换,有:

当 a=0时,r(A)=1

于是方程组的通解为 x=k1η1+…+kn-1ηn-1,式中 k1,…,kn-1为任意常数.

当 a≠0时,对矩阵 B作初等行变换,有:

由此得基础解系为η=(1,2,…,n)T.于是方程组的通解为 x=kη,其中 k为任意常数.解法 2 方程组的系数行列式为

当 a=0时,对系数矩阵 A作初等行变换,有

故方程组的同解方程组为 x1+x2+…xn=0,由此得基础解系为

于是方程组的通解为 x=k1η1+…+kn-1ηn-1,其中 k1,…,kn-1为任意常数.

故方程组的同解方程组为:

由此得基础解系为η=(1,2,…,n)T.于是方程组的通解为 x=kη,其中 k为任意常数.

3 线性方程组公共解的求解

线性方程组Ⅰ和Ⅱ的公共解就是同时满足两个方程组的通解.关于公共解一般有以下几种解决方法[]:

1)若已知线性方程组Ⅰ和Ⅱ的一般式,可联立求解;

2)若已知线性方程组Ⅰ和Ⅱ的通解,令其相等求出参数所满足的关系就得到公共解;

3)若已知线性方程组Ⅰ的一般式和Ⅱ的通解,将Ⅱ的通解代入Ⅰ中求出参数所满足的关系就得到公共解.

解 (联立法) 将方程组和方程联立,后可得线性方程组:

其系数矩阵

显然,当 a≠1,a≠2时无公共解;当 a=1时,可求得公共解为ξ=k(1,0,-1)T,k为任意常数;当 a=2时,可求得公共解为ξ=(0,1,-1)T.

4 矩阵秩求解

与线性方程组有关的矩阵秩的问题主要是利用齐次线性方程组系数矩阵的秩、未知数的个数、解向量的维数以及基础解系所含解向量的个数来推导有关矩阵秩的关系[5].

例 4(2006年试题数学一) 已知非齐次线性方程组

有 3个线性无关的解.(Ⅰ)证明方程组系数矩阵 A的秩 r(A)=2.

证明 设α1,α2,α3是方程组 Ax=b的 3个线性无关的解,其中

则α1-α2,α1-α3是对应齐次线性方程组 Ax=0的解,且线性无关.(否则,易推出α1,α2,α3线性相关,矛盾).所以,n-r(A)≥ 2,即 4-r(A)≥ 2⇒r(A)≤2.

因此r(A)=2.

本题综合考查矩阵的秩、初等变换及方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系,这是考查综合思维能力的一种重要形式.

[1]徐仲.理工科线性代数[M].西安:西北工业大学出版社,2002:61-77.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2000:104-146.

[3]刘三阳,王世儒,毛用才,等.高等数学辅导[M].西安:西安电子科技大学出版社,2000:277-297.

[4]赵树嫄.线性代数 [M].北京:中国人民大学出版社,2008:109-156.

[5]张禾瑞.高等代数 [M].北京:高等教育出版社,1999:141-168.

The SolvingMethods of L inear Equations in the Postgraduate Entrance Examnition of AdvancedMathmatics

L IANG Cun-li

(Depar tment of Education,TibetNationalities Institute,Xianyang Shaanxi 712082,China)

This paper takes the exercises from the postgraduate entrance examinations of advanced mathmatics for examples and summarises fourperspectivesof checkingLinear Equations in the examnations.Meanwhile itoffers the responding solvingmethods.The four perspectives are the solving of linear systemswithout parameter,the solving of equationswith parameter,the solving of common solution of linear equations and the solving of the rank of a matrix

postgraduate;entrance examinations;Linear Equations;the types of exercises;analysis and solution

O 174

A

1673-2103(2010)05-0100-05

2010-07-01

梁存利 (1969-),男,陕西西安人,讲师,硕士,研究方向:高数教学法,智能计算等.