贾正华
(巢湖学院数学系,安徽巢湖23800)
群的几种等价定义
贾正华
(巢湖学院数学系,安徽巢湖23800)
本文给出了群的几种定义的等价性.
群;单位元;左单位元;右单位元;逆元;左逆元;右逆元;消去律
定义1设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合,且满足:
(1)乘法封闭。即∀a,b∈G都有ab∈G.
(2)乘法满足结合律。即∀a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c.
(3)∀a,b∈G方程:ax=b与ya=b在G中有解。
则称G关于所给乘法构成一个群。
定义2设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合,且满足:
(1)乘法封闭。即∀a,b∈G都有ab∈G.
(2)乘法满足结合律。即∀a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c
(3)G中存在左单位元.即存在e∈G使得∀a∈G都有ea=a.
(4)G中每一个元都存在左逆元。即∀a∈G都有a/∈G使得a/a=e.
则称G关于所给乘法构成一个群.
定义3设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合,且满足:
(1)乘法封闭。即∀a,b∈G都有ab∈G.
(2)乘法满足结合律。即∀a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c
(3)G中存在右单位元。即存在e∈G使得∀a∈G都有ae=a.
(4)G中每一个元都存在右逆元。即∀a∈G都有a/G使得aa/=e..
则称G关于所给乘法构成一个群。
定义4设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合,且满足:
(1)乘法封闭。即∀a,b∈G都有ab∈G.
(2)乘法满足结合律。即∀a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c
(3)G中存在单位元。即存在e∈G使得∀a∈G都有ea=ae=a
(4)G中每一个元都存在逆元。即∀a∈G都有a/∈G使得aa/=a/a=e.
则称G关于所给乘法构成一个群。
定义5设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空有限集合,且满足:
(1)乘法封闭.即∀a,b∈G都有ab∈G.
(2)乘法满足结合律。即∀a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c
(3)乘法满足消去律。即若ax=ay就有x=y;若xa=ya就有x=y.
则称G关于所给乘法构成一个群.
(a)先证定义1与定义4等价。
证:由定义1⇒定义4。
由定义4知定义1中(1),(2)成立。下面来证定义1中(3)也成立。
事定上,∀a,b,∈G由定义4中(4)知存在a/∈G使得aa/=a/a=e.取x=a/b
由定义4中(1)x∈G且ax=a(a/b)=(aa/)b=eb=b.ax=b在G中有解x=a/b
同理可证ya=b在G中有解y=ba/.
故由定义推出定义1。
下面再证定义1推出定义4.
由定义1知定义4中(1),(2)成立.下面来证定义4中的(3),(4)两条成立.
事实上,设b∈G由定义1中(3)知方程xb=b在G中有解,设其解为x=e,即eb=b.
下证e为G的单位元,即证∀a∈G都有ea=ae=a.
因由定义1中(3)方程bx=a在G中有解,设其解为c,即bc=a.所以ea=e(bc)=(eb)c=bc=a.
又由定义1中(3)知方程yb=b在G中有解,设其解为e/,即be/=b.由前面同理可证得∀a∈G都有ae/=a,由a的任意性知ee/=e/且有ee/=e.故e=e/.
即得∀a∈G都有ea=ae=a.
故G中存在单位元。(易知G中单位元是唯一的)
由定义1中(3)知方程ax=e与ya=e在G中有解,设其解为x=a/,y=a//即aa/=e,a//a=e,下证a/=a//
事实上:a/=ea/=(a//a)a/=a//(aa/)=a//e=a//.所以aa/=a/a=e.即定义4中(4)也成立。(易知a在G中逆元是唯一的)
所以由定义1推出定义4.
总上所述得定义1与定义4等价。
(b)证明定义2与定义1等价。
证:由定义4显然推出定义2。由定义2显然推出定义1.即定义2⇒定义1,又由定义1⇒定义4,知定义4定义⇒2定义1⇒定义4
故定义1与定义4等价。
同理可证定义3与定义1等价。
(c)最后来证有限群的定义5
证:先证由定义4推出定义5。
由定义4的(1),(2)知定义5中的(1),(2)成立。
由定义4知∀a,b∈G都有a/,b/使得aa/=a/a=e,bb/=b/b=e
由ax=ay,推出a/(ax)=a/(ay),推出(a/a)x=(a/a)y,得ex=ey,推出x=y.同理xa=ya推出x=y.即G中消去律成立。故由定义4推出定义5。
再证由定义5推出定义1
因G为有限集,设G={a1,a2…,an}下证∀a,b,∈G,ax=b在G中有解。
事实上,由定义5中(1)知aa1,aa2,…aan∈G,又若aai=aja,由定义5中(3)知ai=aj,故aa1,aa2…aan互不相同。所以{aa1,aa2…aan}为G的子集且其有n个元素,而G也有n个元素,所以G={aa1,aa2,…aan},因b∈G,所以存在ak,使得aak=b.
所以方程ax=b在G中有解x=ak.同理可证方程ya=b在G中有解
所以由定义5推出定义1
所以定义1与定义4等价。故定义5可作为有限群的定义。
[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京;高等教育出版社;1978.
[2]杨子胥.近世代数[M].北京;高等教育出版社;1998.
[3]冯克勤,李尚志.近世代数引论[M].合肥:中国科技大学出版社,1988.
责任编辑:陈凤
O187.2
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1672-2868(2010)03-0123-03
2010-01-18
贾正华(1963-),男,安徽含山县人。巢湖学院教学系副教授,研究方向:代数学。