关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上界估计

王 谦， 何国龙

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

在分形几何的研究中，对于满足开集条件的自相似集，其Hausdorff维数计算问题已完全解决，但Hausdorff测度的精确值计算仍非常困难，大多只能通过计算其上下界以逼近其准确值.通过Hausdorff测度的定义可以得到其上界，当然最好的上界就是准确值，因此，如何估计出较优的上界值是逼近准确值的重要问题.Sierpinski垫片是经典的满足开集条件的自相似集，它的Hausdorff维数s=dimH(S)=log23，对于其Hausdorff测度，目前只有上下界的估计值.文献[1]否定了1987年Marion关于Sierpinski垫片测度的猜测(Hs(S)=3s/6)，并给出上界值Hs(S)≤0.910 5；文献[2]改进上界值为Hs(S)≤0.890 0；文献[3]将上述上界改进到Hs(S)≤0.870 08…；文献[4]得到了目前最好的上界估值为Hs(S)≤0.817 930 0….本文通过构造新的覆盖，并给出相应的算法，通过数值计算得到了更好的上界估计值.

1 Sierpinski垫片

定义1[5]设S1,S2,…,Sm:Rn→Rn，对任意x,y∈Rn，满足

|Si(x)-Si(y)|=ci|x-y|.

图1 Sierpinski垫片

Sierpinski垫片S是经典的自相似集.

图2 标志点示意图

如图2所示，以2-k-S的一个顶点为原点，以其中一边为x轴，建立直角坐标系.2-k-S中包含3n个2-(n+k)-S，对构成2-k-S的每个三角形，其横坐标最小的顶点称为标志点.借鉴文献[4]的方法，可以建立以下引理:

引理1设(x,y)为一个2-(n+k)-S的标志点，则必有下述二进制表示：

反之，若坐标满足上述二进制表示，则必为一个2-(n+k)-S的标志点.

引理1与引理2均可由归纳法证明.

命题1设△OAB是一个2-k-S所在的三角形，以一个顶点O为原点，以OA所在的边为x轴建立直角坐标系，PQ是以(x0,y0)为圆心，r为半径的圆上的一段弧(如图3所示)，记:

图3 2-k-S

则曲边三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形个数为

由于曲边三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形的标志点(x,y)满足(x-x0)2+(y-y0)2≤r2，联立方程组

化简上述方程组，即有

取yi为满足上述不等式关系，且具有二进制小数表示yi=0.yi1yi2…yi(n+k)(0≤yij≤xij)的最小的数，再利用引理2知曲边三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形个数为

2 Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上界估计

由Hausdorff测度定义[6]，易建立引理3.

引理3若E是满足开集条件的自相似集，s=dimHE，则

引理4若E是满足开集条件的自相似集，s=dimHE，则

由引理4，即可得到命题2.

命题2对于Sierpinski垫片S，如果包含N个2-k-S，1≤N≤3k，则

图4 覆盖示意图

构造覆盖：以S0的3个顶点A,B,C为端点，在S0的三边上分别截取长度为2-2的6条线段AA1,AA2,BB1,BB2,CC1,CC2，分别以点A1,A2,B1,B2,C1,C2为圆心，1-2-2为半径作圆弧A1D,A2E,B1F,B2G,C1H,C2I，连接DE,FG,HI，取覆盖U为曲十二边形A2EDA1B2GFB1C2IHC1，|U|=1-2-2，则覆盖U包含6个2-2-S及6个等覆盖的曲边三角形.

在圆弧A1D所在的2-3-S三角形OA1P上建立直角坐标系(如图4所示)，以O为原点，OA1所在的边为x轴.

设U包含N个2-(n+3)-S，1≤N≤3n+3，则由命题2知

其中：N=6×3n+1+6×g；g为曲边三角形A1DP中的2-(n+3)-S三角形数.

图5 2-3-S

则曲边三角形A1DP中的2-(n+3)-S三角形个数为

所以Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上界为

利用Matlab编程计算可得如表1所示的结果.

表1 Sierpinski垫片的上界估计

注：所有结果均采用四舍五入取八位有效数字.

图6 局部覆盖示意图

由于覆盖集的构造极大地影响了Hausdorff测度上界值的估计，因此改进覆盖集可以进一步改进Hausdorff测度上界的估计值.

改进覆盖：仍取覆盖U′为曲十二边形A2EDA1B2GFB1C2IHC1，但AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=1-2-2-2-8，即|U′|=1-2-2-2-8(如图6所示).

圆弧A1D交2-8-S三角形A1QL的侧边于点K，交2-3-S三角形OPQ的侧边于点R，则曲边三角形A1KL在2-8-S三角形A1QL中，曲边三角形RDP在2-3-S三角形OPQ中.

设U′包含N个2-(n+8)-S，1≤N≤3n+8，则由命题2知

其中：N=6×3n+6-6×3n+6×(g1+g2)；g1，g2分别为曲边三角形A1KL和曲边三角形RDP中的2-(n+8)-S三角形数.

利用Matlab编程计算可得Sierpinski垫片的Hausdorff测度上界有如表2所示的结果.

表2 Sierpinski垫片的上界估计

因此，计算得Sierpinski垫片的Hausdorff测度Hs(S)≤0.817 918 996….

上述Sierpinski垫片的Hausdorff测度上界的估计方法，实质是在构造的覆盖集中尽可能多地计算出覆盖集中所包含的2-(n+k)-S三角形数N，当n越大时，覆盖集中所包含的三角形越小，落入曲边三角形中的2-(n+k)-S三角形数就越多，因而3n+k与N的比值减小，从而Sierpinski垫片的Hausdorff测度Hs(S)的上界估值越小.此外，Hausdorff测度上界的估计也有赖于覆盖集构造的好坏，若构造的覆盖集满足在较小的直径条件下能够覆盖较多的2-(n+k)-S，则计算得到的Hs(S)上界值越小.经笔者改进后的覆盖集U′计算得到的Hs(S)上界优于覆盖集U，当n=13时，Hs(S)≤0.817 918 996…，此结果优于目前现有文献中的已知结果.

参考文献：

[1]周作领.Koch曲线和Sierpinski垫片的Hausdorff测度[J].自然科学进展,1997,7(4):405-409.

[2]周作领.Sierpinski垫片的Hausdorff测度[J].中国科学:A辑 数学,1997,27(6):491-496.

[3]王何宇.Sierpinski垫片Hausdorff测度的上方估值[J].高等学校计算数学学报,1998,20(1):93-96.

[4]王兴华.关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度估值和猜测[J].自然科学进展,1999,9(6):448-493.

[5]Kenneth F.分形几何数学基础及其应用[M].北京:人民邮电出版社,2007:3-137.

[6]文志英.分形几何的数学基础[M].上海:上海科技教育出版社,2000.