T-代数上的 Yetter-Drinfeld模范畴＊

胡晓飞

(金华职业技术学院师范学院,浙江金华 321007)

0 引 言

设π是一个离散群.Turaev[1]引进了模的 crossedπ-范畴 (根据文献[2]简称为 T-范畴),并且证明了这一范畴能提升到带有目标空间 K(π,1)的三维同伦量子场理论.文献[2]介绍了 T-余代数上的左右 Yetter-Drinfeld模的概念和辫子 T-范畴的概念,它是 Hopf代数上的 Yetter-Drinfeld模的推广;文献[3]研究了T-余代数上的 Yetter-Drinfeld模的各种性质.本文讨论 T-代数上的 Yetter-Drinfeld模范畴,并构造了一个辫子结构,使其成为辫子张量 T-范畴.

1 基本概念

本文中 k是一个固定的域,所有的线性空间指域 k上的线性空间,张量积 A⊗kB记为 A⊗B,张量积中的∑号省略,并采用文献[4-5]的记号.

定义 1[2]一个 T-代数 H是指满足以下条件的一族余代数{(Hα,Δα,εα)}α∈π:

1)一族余代数同态 m={mα,β:Hα⊗Hβ→Hαβ}α,β∈π(乘法 )是结合的,即对 ∀α,β,γ∈π,

式 (1)中,id是恒等映射.对 ∀α,β∈π,a∈Hα,b∈Hβ,令 mα,β(a⊗b)=ab,那么式 (1)可以改写为:对 ∀α,β,γ∈π,a∈Hα,b∈Hβ,c∈Hγ,(ab)c=a(bc).

2)余代数同态 u:k→A1(单位 ),使 u(1k)=1,满足 m1,α(1⊗a)=a=mα,1(a⊗1),即对 ∀α∈π,a∈Hα,1∈H1,1a=a1=a.

3)一族映射 S={Sα:Hα→Hα-1}(对极 )使得对 ∀α∈π,

即对 ∀α∈π,hα∈Hα,有

4)一族余代数同构φ={φαβ:Hα→Hβαβ-1}(φαβ常写成φβ),对 ∀α,β,γ∈π,hα∈Hα,gβ∈Hβ,满足

定义 2 设 H为 T-代数,M 为线性空间,称 M 为左 π-H-模,若对 ∀λ1,λ2∈π,m ∈M,hλ1∈Hλ1,hλ2∈Hλ2,存在ωλ:Hλ⊗M →M,记ωλ(hλ⊗m)=hλ·m,满足

定义 3 设α∈π,(Hα,Δα,εα)为余代数,M 为线性空间,右 Hα-余模 (M,ρ)是指存在映射 ρ:M →M ⊗Hα满足

若对∀m∈M,记ρ(m)=m(0)⊗m(1),则上述条件为:对∀m∈M,满足

定义 4 设α∈π,H为 T-代数,左右α-Yetter-Drinfeld模 (M,·,ρ)是指 (M,·)为左π-H-模,(M,ρ)为右 Hα-余模,且对 ∀λ∈π,hλ∈Hλ,m∈M,满足

全体左右α-Yetter-Drinfeld模及其模同态构成一个范畴,称为左右α-Yetter-Drinfeld模范畴,记为HYDHα,设HYDH表示HYDHα(对所有的α∈π)的无交并.

定义 5[2]一个范畴 T称为 T-范畴 (π上的),如果还满足以下条件:

1)T是一个张量范畴;

2)存在一族子范畴 {Tα}α∈π,使得 T是这族子范畴的无交并,且对 ∀α,β∈π,U∈Tα,V∈Tβ,满足U ⊗V ∈Tαβ;

3)记 Aut(T)为 T到自身的可逆严格张量函子组成的群,群同态φ:π→Aut(T)(称为共轭)为φ(β)=φβ,满足对 ∀α,β∈π,φβ(Tα)=Tβαβ-1.

定义 6[2]T-范畴 T称为辫子 T-范畴,若赋予了一个辫子.其中辫子是一族同构 c={cU,V:U⊗V→UV⊗U}U,V∈T满足条件:对 ∀α,β∈π,f∈Tα(U,U′),g∈T(V,V′),U,V,W∈T,

2 T-代数上的 Yetter-Drinfeld模范畴

接下来将讨论 T-代数上 Yetter-Drinfeld模范畴的性质,同时证明 T-代数上的 Yetter-Drinfeld模范畴HYDH是辫子 T-范畴.

引理 1 设 H=({Hα,Δα,εα}α∈π,m,u,S,φ)为 T-代数,则对 ∀α,β∈π,hα∈Hα,gβ∈Hβ,下列等式成立:

定理 1 设 α,β∈π,H为 T-代数,(M,·,ρM)∈HYDHα,(N,·,ρN)∈HYDHβ,则 M ⊗N ∈HYDHαβ.其中M ⊗N的左π-H-模和右 Hαβ-余模结构定义如下:对 ∀λ∈π,hλ∈Hλ,m∈M,n∈N,

式 (12)中:ρM(m)=m(0)⊗m(1);ρN(n)=n(0)⊗n(1).

证明 易证 (M ⊗N,·,ρM⊗N)是右 Hαβ-余模和左 π-H-模.

下证 (M⊗N,·,ρM⊗N)满足相容条件 (式 (6)).根据式 (3)、式 (6)、式 (11)和式 (12)可得

即证明了 M ⊗N∈HYDHαβ.定理 1证毕.

设 (M,·,ρN)∈HYDHα,对 ∀β∈π,βM定义如下:作为线性空间βM=M,将 ∀m ∈M 在βM 中记为βm(即βm=m),βM 的左 π-H-模和右 Hβαβ-1-余模结构分别为 :对 ∀λ,β∈π,hλ∈Hλ,βm ∈βM,

由此可得定理 2.

定理 2 设 H为 T-代数 ,M ∈HYDHα,则对 ∀β∈π,βM=(βM, ·,ρβM)∈HYDHβαβ-1.特别地 ,β-1(βM)=β(β-1M)=M.

证明 易证 (βM,·)是左 π-H-模和 (βM,ρβM)是右 Hβαβ-1-余模.

下证βM满足相容条件 (式 (6)).事实上,对 ∀λ,β∈π,hλ∈Hλ,βm∈βM,根据式 (3)、式 (6)、式 (13)和式(14)得

因此 ,(βM,·,ρβM) ∈HYDHβαβ-1.定理 2证毕.

另外,定义φ:π→Aut(HYDH)为β→φβ,其中φβ(M)=βM,则易证φβ为函子且φ为群同态,根据定义 5、定理 1及定理 2,即可得到定理 3.

定理 3 设 H为 T-代数,则范畴HYDH是一个 T-范畴.

定理 4 设 H为 T-代数,M∈HYDHα,N∈HYDHβ,定义

则 cM,N是 Yetter-Drinfeld模同构,它的逆同构为σαN,M.

证明 首先证明 cM,N是左π-H-模同态.由式 (2)、式 (6)、式 (11)、式 (13)、式 (15)及引理 1可得,对∀λ∈π,hλ∈Hλ,m∈M,n∈N,

其次证明 cM,N是右 Hαβ-余模同态.事实上,对 ∀α,β∈π,m ∈M,n∈N,由式 (2)、式 (3)、式 (5)、式 (6)、式 (12)、式 (14)及引理 1可得

为此,cM,N是 Yetter-Drinfeld模同态.类似可证,σM,N也是 Yetter-Drinfeld模同态.又因为

同理 cN,β-1MσM,N(m⊗n)=m⊗n,所以,cM,N是 Yetter-Drinfeld模同构,它的逆同构为σαN,M.定理 4证毕.

定理 5 设 H为 T-代数,则范畴HYDH是一个辫子张量 T-范畴,它的辫子结构 c={cM,N:M⊗N→αN⊗M}M,N∈HYDH如定理 4.

证明 只需证明式 (7)～式 (10)成立即可.对 ∀α∈π,f∈HYDHα(M,M′),g∈HYDHβ(N,N′),m∈M,n∈N,有

即式 (7)成立.对 ∀α,β,γ∈π,M∈HYDHα,N∈HYDHβ,X∈HYDHγ,m∈M,n∈N,x∈X,根据式 (5)和引理 1有

即式 (8)成立.类似可证式 (9)成立.对 ∀α,β,γ∈π,M∈HYDHα,N∈HYDHβ,m∈M,n∈N,由式 (13)可得

即式 (10)成立.所以,范畴HYDH是一个辫子张量 T-范畴.

3 结 语

给出 T-代数上的 Yetter-Drinfeld模范畴的结构,研究了其上的各种性质;同时还运用了有别于文献[2]的方法,通过一系列的构造直接证明HYDH是辫子 T-范畴.

致谢:衷心感谢李金其教授的悉心指导!

[1]TuraevV G.Homotopy field theory in dimension 3 and crossed group-categories[ED/OL].(2000-05-31)[2009-06-29].http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0005/0005291v1.pdf.

[2]ZuninoM.Double construction for crossed Hopf coalgebra[J].J Algebra,2004,278(1):43-75.

[3]李金其.T-余代数上的 Yetter-Drinfeld模范畴[J].浙江大学学报:理学版,2006,33(6):606-609.

[4]SweedlerM E.HopfAlgebra[M].New York:Benjamin Inc,1969.

[5]VirelizierA.Hopf group-coalgebras[J].J Pure ApplAlgebra,2002,171(1):75-122.