四元数张量方程A*NX=B 的通解

蒋华，袁仕芳，李明照

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

任意四元数q可以用实数q0,q1,q2,q3唯一表示为

F（A）与A是一一对应的.

文献[1-11]研究了张量、张量方程和四元数张量方程，其中何卓衡等研究了四元数代数上的张量分解和张量方程[9]以及得到了一种涉及η-Hermicity的耦合系统Sylvester-type四元数张量方程的通解[10]；王卿文等得到了四元数Sylvester张量方程的最小二乘解[11]. 本文利用四元数张量的复表示来讨论四元数张量方程A*NX=B相容性条件及其通解.

1 几个定义和引理

定义 1[12]对于四元数张量张量A和B的Einstein积*N定义为

定义2[8]690令张量，A和B的行块张量定义为

定义3[10]令四元数张量，四元数张量满足下列4个四元数张量方程：1）则称X为A的Moore-Penrose广义逆，记为+A.

引理1[8]695对于和，张量方程A*NX=B相容的充要条件是. 其通解为

2 四元数张量方程A*NX=B 的通解

定理2对于任意有

证明由四元数张量的Einstein积有

下面利用四元数张量的复表示来讨论四元数张量方程A*NX=B相容性条件及其通解表达式.对于给定四元数张量，设

定理 3对于四元数张量和，四元数张量方程相容的充要条件是

其通解为

证明因为由定理2有

故有

证毕.