大着地角最优制导律离散设计方法

窦 磊，杨新民

(南京理工大学 瞬态物理重点实验室，江苏 南京 210094)

制导炮弹结合了炮弹和导弹的特点，可以采用常规的发射平台，同时具有精确的打击能力.早在20世纪70年代，美国和俄罗斯就分别开始研制制导炮弹“铜斑蛇”和“红土地”系列.目前，美国正花巨资研制卫星制导炮弹“神箭”，并已经开始着手装备军队［1-3］.卫星制导具有全时空、全天候、低成本等诸多特点，因此也是国内制导炮弹发展的一个重要方向［4-6］.卫星制导炮弹需要采用大着地角的制导律，这主要由以下因素所决定:1)卫星定位系统的高度测量误差比较大［7］，为了减少这种误差对制导精度的影响，末制导阶段需要选择一个陡峭的飞行弹道;2)可以增加制导炮弹的毁伤能力，并且防止出现飘飞现象.受到体积和成本限制，制导炮弹动力很有限，因此制导过程中要尽可能减少控制能量的消耗.

这就提出了一个带多约束条件的最优制导律设计问题.涉及到3方面的约束，即尽可能大的着地角、尽可能小的控制能量消耗和尽可能小的脱靶量.一般情况下，制导过程中，飞行速度、弹目距离等参数是不断变化的，弹目运动学模型是一个时变的系统，针对该类系统的制导律设计涉及到泛函和变参数微分方程的解析求解，因此是很困难的，有时甚至无法得到解析解.于是一些文献［8-9］进行了导弹速度不变或变化缓慢等假设，将时变系统向非时变系统简化，此种做法限制了设计所得制导律的适用范围.本文利用离散计算［10］的方法来解决这一问题，进行满足上述3个约束条件的最优制导律设计.

1 弹目运动学模型

卫星制导炮弹主要用于打击静止目标，制导过程中，弹目位置关系可以用图1表示.其中D为制导炮弹，M为目标，将它们看成质点，在同一固定垂直平面内运动.取D点为极点，DF为极轴，制导炮弹至目标斜距r=DM，q为目标视线角，V为炮弹飞行速度，θD为弹道倾角.弹目运动学极坐标方程可以描述为

对式(2)微分，再将式(1)代入，有

根据式(4)、(5)，弹目相对运动学方程可以写成如下的矩阵形式:，由式(3)可得

初始条件:t=t0时，x1(t0)=q(t0)－θDF，x2(t0)=

图1 制导炮弹与目标位置关系Fig.1 The location relation between guided projectile and target

2 最优制导律离散设计方法

卫星制导炮弹在制导过程中，要求所消耗的控制能量要尽可能少，飞行弹道末段要尽可能的陡峭，着地角接近于－90°，接近目标时，目标视线角速率尽可能小以减小脱靶量，因此提出如下的离散性能指标函数:

由式(8)有

将式(10)代入式(9)，得

根据式(7)可以得到

可得到最优控制:

令

则

将式(16)代入式(12)，得

令

则有

由式(7)、(8)有

将式(21)代入式(20)，得

式中:k=0，1，2，…，N－1.

3 仿真及分析

假定制导炮弹出炮口速度为800 m/s，距目标水平距离20 km，弹飞到最高点附近开始制导控制.根据式(23)，最优控制可以表示为

式中:

利用递推关系，可以计算出制导过程中各离散时间点w1，k和w2，k值，如图2所示.从图中可以看出，w1和w2是随时间而变化的，为了减少弹载计算资源的消耗，可以将制导过程在时间上分段，在各时间段上制导律系数取w1和w2的均值.本例中，对整个制导过程中的w1和w2取均值，得到以下的常系数制导律:

图2 制导律系数随时间变化曲线Fig.2 The curve of the guidance law coefficient

利用式(25)所示的制导律进行六自由度全弹道仿真，制导炮弹的飞行轨迹如图3(a)中的实线所示，图中虚线为使用比例导引时制导炮弹的飞行轨迹.通过对比，可以清楚地看出，使用本文设计的制导律后，末段弹道更为陡峭，陡峭的程度可以用弹道倾角量化表示，如图3(b)所示，使用比例导引时，着地角约为－36°，而采用本文设计的制导律后，着地角约为－75°，增加了108%.陡峭的末端弹道可以减少这一阶段的需用过载，同时可以减小由时间步长所引起的脱靶量.使用最优制导律时，着地点距目标0.28 m，使用比例导引时，着地点距目标0.97 m，制导精度提高了246%.

图3 弹道曲线Fig.3 Trajectory curves

4 结论

本文利用离散计算方法，根据卫星制导炮弹的弹道要求，进行了考虑着地角、脱靶量和控制能量三方面约束的最优制导律设计.

本文方法不需要进行变参数微分方程的解析求解，也不需要对飞行速度等变参数进行简化假设，因此降低了制导律设计难度，同时增大了适用范围.

应用设计所得制导律和比例导引分别进行了制导炮弹六自由度全弹道仿真，采用相同计算步长时，仿真结果显示:1)最优制导律产生的脱靶量不到使用比例导引律时的1/3;2)可以将着地角较使用比例导引律时增加一倍以上.

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