超声电机定、转子接触微观力学模型

姚志远，张建辉，赵淳生

(南京航空航天大学 精密驱动研究所，江苏 南京 210016)

超声电机因具有结构简单、直接驱动、重量扭矩(推力)比大、动子惯性小、响应快、断电自锁、可控制性好和定位精度高等优点，在航空航天、仪器仪表和精密驱动等领域有着重要的应用前景.它的研究受到广泛关注［1］.目前超声电机研究主要集中在新型结构设计、动力学建模、运行与精确定位控制以及稳定性和运行寿命预估等领域［2-6］.

定、转子接触模型是动力学建模的重要内容，现有的模型利用线性弹簧模型描述定子和转子的相互接触［7］，或利用状态方程建立非线性接触模型［8］，或利用Kelvin粘弹性模型建立的接触模型［9］，考虑了Slip现象［10］.上述定、转子之间的接触模型的研究是建立在定、转子为光滑的接触面的假设下.它们能描述定子如何通过摩擦层将能量输送给转子，但不能反映定、转子摩擦作用下摩擦层内部和表面的应力分布和摩擦作用的运动方式.实际的定、转子接触表面是粗糙的，表面粗糙度对定、转子接触的影响未被考虑.目前尚未检索到考虑接触表面微观力学的定、转子模型方面的研究成果，以及粗糙表面相互作用力学特性的研究报道.

研究表面粗糙度对接触的影响规律有随机统计［11-12］和分形几何两类方法［13-14］.分形几何方法不依赖于测试仪器的测量精度，能够更好地分析接触变形量随着接触压力变化的规律及其力学特性.

本文利用分形几何表征摩擦层表面的表面形貌;并通过实验确定摩擦材料构成的半球体的相对变形、相对接触面积和相对压力之间的函数关系.在此基础上，建立考虑表面粗糙度影响的定、转子接触微观力学模型.利用该力学模型分析实际接触点数、实际接触面积随接触压力变化的规律.研究有助于建立超声电机的接触模型.

1 超声电机结构

图1所示为Φ60行波超声电机结构图.它主要是由定子、转子、顶盖、转轴及底座等组成.压电陶瓷元件与定子粘接成一体，而转子在与定子接触的环形面上附着一层复合材料的摩擦层.

图1 Φ60行波超声电机结构图Fig.1 The structure diagramof theΦ 60 travelling wave ultrasonic motor

在压电陶瓷元件上施加交变电场，激发定子产生相位差为π/2的两相驻波，叠加后形成行波.振动中的定子表面质点形成椭圆运动，在预压力作用下，通过定、转子之间的摩擦作用将定子表面质点的微观振动转化为转子的宏观转动，并驱动负载.

本研究是以Φ60行波超声电机的定、转子之间的摩擦为研究对象.为了简便，文中把Φ60行波超声电机也称之为超声电机或者电机.

2 摩擦层表面的形貌模拟

运行的超声电机需要在定、转子之间施加预压力，其预压力在 20～35 kg，定子表面的振幅在0.4～1.0 μm之间.而摩擦层表面的粗糙度 Ra在0.4～1.2 μm，Rz在2.0 ～7.0 μm之间.因此粗糙表面的摩擦特性影响超声电机的运行特性.

2.1 实验仪器和试件

采用华中科技大学研制的LI型接触式表面轮廓测量仪测试定、转子接触表面的粗糙度.定子表面为磷青铜(Cu)，转子表面为聚四氟乙烯(PTFE)基摩擦材料，其中Cu的维氏硬度为Hv240，弹性模量为112 GPa;摩擦材料的维氏硬度为Hv10～12，弹性模量为0.6 GPa.通过测试摩擦材料表面轮廓的分形维为 1.13，特征测度系数为2.60 ×106.

2.2 表面模拟

图2所示为利用分形几何原理所进行描述的超声电机转子上粘贴摩擦材料表面的表面轮廓线.粗糙表面具有分形特征，该分形特征能够确定地、唯一地通过分形几何来描述.粗糙表面的轮廓线 用Weierstrass-Mandelbrot函数表示为［15］

式中:L为采样长度，D为分形维数，G为特征测度系数，γ为大于1的常数.

图2 摩擦材料表面的模拟轮廓线Fig.2 The simulated surface contour of the friction material

3 单个微凸体的接触模型和实验

3.1 单个微凸体的接触模型

粗糙表面的微凸体具有复杂的几何形状，本文假设微凸体是由不同半径的半球体构成，研究微凸体与刚性平面的相互接触.Hert接触模型是经典接触力学的基础.基于经典力学模型，Bowden和Tabor等人［16］研究金属表面接触的弹、塑性变形，但是不能用描述高分子材料同金属表面的相互接触.本文首先研究聚四氟乙烯基摩擦材料的半球体，在无限大刚性平面的挤压下，半球体的变形量和接触面积随接触压力之间的关系.

考虑半径为r的半球体，在压力p的作用下，半球体的变形量为w，接触面的面积为a.图3为半球体在接触压力作用的变形示意图.假设半球体变形后为一平台.其接触面积与变形量、球的半径之间的几何关系为

定义:相对面积ar=a/r2，相对变形量wr=w/r，相对应力σr=(p/a)/r，相对压力pr=σrar.由定义得到

图3 刚性平面和弹塑性半球接触示意图Fig.3 The schematic diagramof the rigid plane and elastic-plastic hemispheroid contact

3.2 实 验

实验分别取半径为16.04、11.92 mm的6个聚四氟乙烯半球.测试在不同压力下半球的相对变形量和相对接触面，其测试结果如图4所示.

图4表示相对变形量随相对压力变化的规律.两组不同半径的相对变形量随相对压力变化的规律是一致的.这表明，相对变形量随着相对压力变化的规律与半径无关.

由图4经过三次样条插值得到反映相对压力随着相对变形量变化的函数f(wr)相应的函数曲线，如图5所示.

由图5可知，在0＜wr≤0.05时，半球刚刚受到压力，由于接触面很小，相对压力随着相对变形量变化的变化率很小;在0.05＜wr≤0.12时，随着接触面积的增加，它们的变化率增大，为常数;在0.12 ＜wr≤0.22时，随着压力的进一步增加，材料产生蠕变，它们的变化率减小.在wr＞0.22时，半球结构发生破坏.

图4 相对变形量随相对压力变化的规律Fig.4 The laws of the relative deformation with the relative pressure

图5 相对压力随相对变形量变化的函数Fig.5 The function of the relative pressure with the relative deformation

4 微观力学模型

4.1 力学模型

定、转子接触是在Oxy平面.为了简化计算，考虑Oxy平面的正方形区域，认为在该区域内微凸体排列成n×n的方阵，并假设其一行或一列上的接触压力为Pl，那么在整个正方形的区域上的接触压力为nPl.取一行微凸体，沿行的方向作剖切面，其剖切面的轮廓线可由公式(1)表示.

假设定、转子在接触层上一行n个微凸体，每个微凸体为半径不等的半球，它们的半径为相对压力为，相对变形为

如果在整个正方形的区域上所受的总压力为P，那么

事实上，在定、转子的相互接触中，接触压力(预压力)是给定的，摩擦层表面的轮廓线也是知道的(如式(1)).如果能够从式(5)解出{wrk}nk=1，就能够计算出总的接触面积:

4.2 数值计算

计算转子摩擦层在预压力下的变形量、接触点数和接触面积.

转子摩擦层是由聚四氟乙烯基摩擦材料构成.其微凸体的相对压力随着相对变形量变化的函数由图5所示.摩擦层为内径为55 mm，外径为58 mm，表面面积为266.25 mm2.仿真计算的正方形的区域为3.0 ×3.0 mm2.实际表面的压力、接触点数和接触面积是后者相应量的29.6倍.

具体算法如下:

1)给定摩擦层在刚性平面作用下的变形量w;

2)通过轮廓线函数式(1)求出轮廓线与刚性平面等高的点{xk}，并从中确定其微凸体所在的区域为微凸体的个数.

3)通过函数式(1)在区间［x1k，x2k］上的函数值，插值出与其微凸体等效的半球体，并得到半球体的半径rk和变形量wk.

4)由定义计算出相对变形量wrk，并由式(5)计算出总的压力.

5)由式(6)计算出总的接触面积.

图6给出了电机摩擦层的变形量随预压力变化的规律.相应的多项式回归公式为

图7给出了定、转子接触的接触面积随摩擦层变形量变化的规律.相应的多项式回归公式为

图8给出了定、转子接触的实际接触面积随预压力变化的规律.相应的多项式回归公式为

图6 摩擦层变形量随压力变化的函数Fig.6 The function of the deformation with the pressure for the friction layer

图7 摩擦层接触面积随变形量变化的函数Fig.7 The function of the contact area with the deformation for friction layer

图8 摩擦层接触面积随总压力变化的函数Fig.8 The function of the contact area with total pressure for friction layer

计算结果表明，定、转子接触面积随预压力的变化近似为线性变化规律.当预压力在200～350 N范围时，实际接触面积在62～88 mm2.实际接触面积在名义接触面积的三分之一之内.

5 结论

本文利用Weierstrass-Mandelbrot函数描述摩擦材料表面的表面轮廓，并建立了相应的接触模型，其模型的数值计算表明:

1)工作中的Φ60行波超声电机其摩擦层的变形量在0.6～1.0 μm之间.

2)摩擦层随接触压力的变化呈1/3幂次的变化规律.

3)接触面积随摩擦层变形量的变化呈现3次多项式的变化规律.

4)定、转子接触面积随预压力的变化近似为线性变化规律.

5)当预压力在200～350 N范围时，实际接触面积在62～88 mm2.实际接触面积在名义接触面积的三分之一之内.

上述分析反映实际超声电机定、转子接触的状况，研究有助于建立超声电机动力学模型.

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