关于均值定理的应用

高尔名

(原平市职业中学,山西原平034100)

在数学知识学习中,大家都熟悉算术平均值与几何平均值的关系,我们也常称为均值定理。

定理:如果a、b∈R+,那么

(当且仅当a=b时,取“=”号)。

定理:如果a、b、c∈R+,那么

(当且仅当a=b=c时,取“=”号)。

定理:如果a1、a2、a3…an∈R+,那么(当且仅当a1=a2=a3=…=an时,取“=”号)。

在应用此结论求值时,要注意三个条件:(1)各项或各因式为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式都能取得相等的值。

一、在函数求最值方面的应用

分析:因为4x-5<0,所以首先要调整符号。又(4x-2)不是常数,所以要对(4x-2)进行配凑。

故x=1时,ymax=1

分析:上例中我们要积为常数,这例中我们要和为常数。

我们常用的是二元的均值定理。两正数和一定,相等时积最大;两正数积一定,相等时和最小。我们在处理问题时,必须遵循原则,灵活处理。

提示:在应用均值定理时,各项或各因式必须为正。解:当x>0时

当x<0时

由此例可看到,处理有关问题时,要注意公式使用的前提条件,否则会出现错误的结果。

二、均值定理在不等式或求最值中的应用

例5 a>b>1 P= lga·lgb Q=(lga+lgb) R=则

分析:观察三式的结构特点,联想对数运算法则,注意到均值不等式就有如下解题过程。

解:∵a>b>1 ∴lga>lgb>0 lga+lgb>2 lga·lgb

∴R>Q>P ∴答案选B。

即x=4 y=12时,上式等号成立。

故当x=4 y=12时(x+y)min=16

例8 若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是( )。

分析:我们可以根据条件利用均值定理转化为关于ab的不等式,问题便可得到解决。

解:∵ab=a+b+3 ∴ab-3=a+b≥2 ab

∴ab-2 ab-3≥0 ∴ ab≥3或 ab≤-1(舍去)

∴ab≥9

∴ab的取值范围是[9,+∞]。

以上是笔者在教学中总结的一些方法,希望能与同行共勉,进一步做好我们的数学教学工作,为祖国培养更多的栋梁之材。