例谈转化思想在立体几何教学中的运用

李　智

【摘 要】本文是笔者对立体几何教学中如何启发学生应用转化与化归的思想方法去分析和解决有关问题的一些做法与体会。

【关键词】平面化 代数化 相互化 规矩化 模型化

立体几何是高中数学的一个重要内容，从平面几何到立体几何是一道难度较高的台阶，立体几何成了中学生进入高中数学学习的第一道障碍，学生们往往对立体几何的学习倍感畏惧。究其原因，不外乎沿袭平面几何的思维，缺乏空间想象力，造成思维受阻。因此，培养学生空间想象力，突破空间思维上的障碍，是学好立体几何的关键。就此，结合自己的教学体会，谈一谈转化思想在立体几何教学中的运用。

转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，任何数学问题的解决都离不开转化与化归，它是数学思想方法的灵魂。而立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化与化归的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。下面就立体几何教学中如何启发学生应用转化与化归的思想方法分析和解决有关问题，谈一些做法与体会。

1．空间问题平面化。由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一；降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。教学中如果能够充分引导学生将“空间问题平面化”，则往往能起到化复杂为简单、化生疏为熟悉的功效，从而使问题得到解决； 而运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从已知探索未知，有助于培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法。平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。

2．几何问题代数化。新课程注重代数与几何的联系，注重学生数形结合思想的培养。新教材在选修部分引入向量和坐标，利用向量解决立体几何中的度量问题以及有关平行和垂直的证明。这样将几何问题代数化，使学生对立体图形的认识有了多个视角。不仅降低了学习立体几何的难度，而且有利于培养学生将代数与几何联系，利用代数的方法解决几何问题的能力和数形结合的能力。

向量是解答立体几何问题的一种得力工具，不少复杂的几何推理，可借助向量法使几何问题代数化， 模式化的解题过程大大地降低了思维的难度。尤其是某些立体几何的探索性问题，用向量法去处理更能凸显其优越性，它只需通过坐标运算的手段就能完成其探索的过程，从而达到简捷、流畅的解题效果。

在进行相关内容的教学过程中，笔者改变了以往过于重视学生利用添加辅助线来解决立体几何题目的教学方法，抓住运算这条主线，首先帮助学生理解空间向量的含义，然后让学生从向量的角度去认识立体几何，学习利用向量运算的方法解决立体几何的有关问题。例如，求二面角的平面角的大小时，可设计如下程序展开教学：①让学生结合相关图形建立坐标系，并看一下各点坐标是否易于求得，如不易求出，则需重建，使学生掌握建系的原则；②分别准确地求出两个对应平面的法向量的坐标，强调运算的准确性；③利用两个向量的夹角公式，求出两个对应平面的法向量的夹角；④对照图形说明两个平面的二面角的大小；⑤其他运算方法。如利用射影面积法等也可用于解决此类问题。这样的教学将利用运算的方法解决几何问题，改变了以往学生在解决几何问题时，因为添不上辅助线，遇到立体几何题“绕着走”的现象，同时也培养了学生数形结合的数学思想。

3．线面关系相互化。线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化。教学中如果能够引导学生充分利用线面间的位置关系进行恰当的转化，则往往能起到化难为易的作用。

4．降维转化。由三维空间向二维空间转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理就是转化为三角形全等的平面问题。

5．等积转化。“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的“等积转化”（或称等积变换）是面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。

6．立体图形规矩化。“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。而通过或“割”或“补”，目的无非是将立体图形规矩化，从而达到把问题的解决转化为“规范问题”的效果。

7．方法技能模型化。立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。在具体的问题中， 证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得、延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了。

8．通过解剖图形，将立体几何问题转化为平面几何。立体几何图形是由点、线、面这些基本元素通过一定的关系组合而成，这种关系到了空间相较平面已发生了很大的变化，不熟悉、不适应这种变化，是学生难以从平面几何进入到立体几何学习的一个障碍。如果能将元素按照题意组合成几何图形，又能将图形分解成部件（有简单关系的基本元素的几何体），也就能将复杂问题分解为简单问题，将立体几何问题转化为已熟悉的平面几何问题加以解决。

总之，在立体几何的教学中，要努力让学生学会利用转化与化归的思想方法去分析和解决有关问题，借助可取之材来建立空间想象，加强直观教学，这样就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。■