线段公理在解题中的应用

杨米珍

数学来源于实际，数学反过来为解决实际问题服务.加强数学知识与实际生活的联系，既可增强学生学习数学的兴趣，又可加强学生对数学的认识，更可提高学生分析问题和解决问题的能力.线段公理“两点之间线段最短”，在解决实际问题时应用非常广泛.现举例分析.

一、直接利用“两点之间，线段最短”，解决问题

例1 如图1，从A村到B村路过一条小溪ｌ，从哪里过河走的路程最短?

分析：由A点到B点直接连接A、B时，线段最短.因此连接A、B与ｌ交于点C，这就是要找的点.

解：连接A、B交ｌ于点C.则点C即为所求．如图2．

二、利用轴对称的性质和两点之间线段最短解决问题

例2 如图3，在公路ｌ的同侧有两个村庄M、N，在公路旁建一个加油站，请使加油站到两村庄的距离和最短.

分析：根据轴对称的性质，利用线段对称轴上的点到线段两端的距离相等，只要作出M（或N）关于ｌ为对称轴的对称点M′(或N′)，再根据两点之间线段最短，连接M′、N(或N′、M)与ｌ交于一点C，点C就是要找的加油站位置.

解：（1）作MA⊥ｌ，垂足为A；（２）延长MA至M＇使M′A=MA；（３）连接M′、N交ｌ于点C.点C就是所求的加油站的位置.如图4.

三、利用轴对称性质和平面图形的性质及两点之间线段最短解决问题

例３ 如图５，在直角三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB上一动点，求EC+ED的最小值.

分析：如图６，作点C关于AB为对称轴的对称点C′，连接C′、Ｄ交AB于E，点E就是要求的点.C′Ｄ长就是EC+ED的最小值.

解：由题意可知，△MCB ≌△MC＇B.

∵BC=BC′=2， ∴ ∠DBC′=90°.

∵D是BC中点， ∴ BD=1.

∴C′D= = .

故EC+ED的最小值为 .

例４ 如图７，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，求PC+PD的最小值.

分析：如图８，因为MN是梯形ABCD的对称轴，所以D、A关于MN对称，连接AC交MN于P，点P就是所求的点.

解：∵ABCD 是等腰梯形，∠B=60°，

∴∠BAD=120°.

∵AD=CD=1，

∴∠DCA=30°，∠ACB=30°，∠BAC=90°.

∴BC=2.

在Rt△ABC中，AC= = .

四、在几何体的展开体中利用“两点之间线段最短”解决问题

例５ 如图９， 有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫在B处沿圆锥表面去偷袭老鼠.求小猫经过的最短路程.

分析：要求最短路程首先想到圆锥的侧面展开图中，B、P两点的距离，然后考虑侧面展开图中的B、P两点之间的连线最短.

解：设扇形的圆心角为n，则根据题意得6π= .解得n=180°.

圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为6 m的半圆.如图10.所以小猫经过的最短路线是BP．

BP＝3 （ｍ）.

综上可知，在涉及到求最短距离、最短路线时，首先要想到的是线段公理．若是平面图形，一般是把两点之间的线段最短与轴对称的性质结合起来考虑；若是立体图形，应考虑它的侧面展开图，然后利用线段公理和所学的知识解决问题.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”