解三角函数题的基本策略

屈兰乾

三角函数题通常为求值、化简、证明及求函数性质（值域、最值、周期、单调区间）等.以上几类题只要注意解题基本策略，灵活应用三角变形（变角、变名、变式）即可顺利求解.

一、三角函数式的求值、化简的解题思路

1．从“角”入手化角：化不同角为同角，化复角为单角；变角沟通条件与等论所涉及的角，常用“配凑”.如α=（α+β）-β= + 等.

2．从“名”入手，化不同名函数为同名函数，常用“切弦互化”的方法.

3．从“式”入手，抓结构特征，采用升、降幂公式，配方添拆配凑等构造方法.

例1求sin２２０°+cos２５０°+sin20°cos50°.

解法1：（从“幂”入手，利用降幂公式）

原式= + +sin20°cos（20°+30°）

=1+ （cos100°-cos40°）+sin20° cos20°- sin20°

=1+ ［cos（70°+30°）-cos（70°-30°）］+ sin40°- sin２20°

=1-sin70°sin30°+ sin４０°- •

=1- sin70°- +sin20°+ cos40°

= - sin70°+ sin（40°+30°）= .

解法2：（从“形”入手，采用完全平方法）

原式=（sin20°+ cos50°）２+ cos２５０°=[sin（50°-30°）+ cos50°] ２+ cos２５０°=（sin50°cos30°） + cos２５０°= sin２５０°+ ｃｏｓ２50°＝ ．

解法3：（从“角”入手，化异角为同角）

原式 = sin２（50°-30°）+cos２５０°+sin（50°-30°）cos50°

= sin50°- cos50°２+cos２５０°+（sin50°cos50°-cos50°sin30°cos50°）

= sin50°- sin50°cos50°+ cos２５０°+cos２５０°+ sin50°cos50°- cos２５０°= sin２５０°+ +1- cos２５０°=sin２５０°+ cos２５０°= .

二、三角恒等式的证明

主要有绝对恒等式与条件恒等式.证明绝对恒等式要根据等式两边的特性，采用化繁为简，左右归一、变更命题等方法，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同；条件恒等式的证明，则要认真观察比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径，常用方法有代入法、消去法、综合法、分析法、两头凑等.

例2已知3sinβ=sin（2α+β），求证：tan（α+β）=2tanα.

证明：（从“角”入手，把条件角转化为结论角）.

β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α．

∵３sinβ=sin（2α+β）， ∴ 3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]．

∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．

∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα， ∴ tan（α+β）=2tanα.

三、研究三角函数的值域、周期、单调区间等性质的基本方法

通过降次、和并变成一个函数一个角的形式，再利用三角函数的性质或借助于复合函数的性质进行求解.

例3已知函数y=sin２x+2sinxcosx+3cos２x，x∈R.（1）函数的最小正周期是什么？（2）函数在什么区间上是增函数？（3）函数图象可由函数y= sin2x，x∈R的图象经过怎样的变换得出？

解：化为同角同一个函数．

y=sin２x+cos２x+2sinxcosx+2cos２x=sin2x+1+cos2x+1=sin2x+cos2x+2= sin（2x+ ）+2.

（1）T= =π.

（2）增区间为：因y=sinx在[- +2kπ， +2kπ]为增，所以

- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ；- +2kπ≤2x≤ +2kπ；

- +kπ≤x≤ +2kπ，即[- +kπ， +kπ]．

（3）把y= sin2x的图象沿ｘ轴向左平移 个单位后，再向上沿y平移2个单位，得到y= sin（2x+ ）+2的图象.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”