怎样证明正方形

侯明辉

对于正方形的判定,教材中没有明确的判定定理.本文给出了判定正方形的三种方法,并举例予以说明,供同学们学习时参考.

方法一 先证四边形是矩形,再证有一组邻边相等.

例1 如图1,四边形ABCD是正方形,分别过点A､C作l1､l2,l1∥l2.作BM⊥l1于点M,DN⊥l1于点N.ND､MB的延长线分别交l2于点P､Q.求证:四边形PQMN是正方形.

解析 由PN⊥l1和QM⊥l1可知PN∥QM.因为PQ∥NM,∠QMN=90°,所以四边形PQMN是矩形.又因为∠BAD=90°,所以∠1+∠3=90°.又∠1+∠2=90°,所以∠2=∠3.而AB=DA,所以有Rt△ABM≌

Rt△DAN(AAS), 得AM=DN.同理,AN=DP.故AM+AN=DN+DP,即MN=PN.所以四边形PQMN是正方形.

点评:解决此题的关键是先证明四边形是矩形,再证它的一组邻边相等.这是判定正方形常用的方法之一.此外,△ABM≌△DAN的证法也值得重视.

方法二 先证四边形是菱形,再证它的一个内角是直角.

例2 如图2,正方形CEFG的边CG在正方形ABCD的边CD上.点K是BC边上一点,点H在CD的延长线上,满足BK=CG=DH.连接AK､KF､FH､HA.求证:四边形AKFH是正方形.

解析 由已知条件易得AB=KE=HG=AD,BK=EF=GF=DH,∠B=∠E=∠FGH=∠HDA=90°,所以由HL得△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH,得AK=KF=FH=HA.因此,四边形AKFH是菱形.因为∠2=∠3,∠1+∠3=90°,所以∠1+∠2=∠AHF=90°.故四边形AKFH是正方形.

方法三 先证四边形是平行四边形,再证它的一个内角是直角,并且有一组邻边相等.

例3 如图3,在正方形ABCD中,点E､F､G､H分别在边AB､BC､CD､DA上,满足AE=BF=CG=DH.AF分别交DE､BG于点M､N,CH分别交BG､DE于点P､Q.求证:四边形MNPQ是正方形.

解析 因为DH=BF,且易知ADBC,所以AHFC,从而四边形AFCH是平行四边形,所以AF∥CH.同理,DE∥BG.所以四边形MNPQ是平行四边形.易证△ADE≌△DCH(SAS),所以∠ADE=∠DCH,则∠DCH+∠EDC=∠ADE+∠EDC=90°.故∠DQC=90°.因此可知∠EQP=90°.易证△AMD≌△DQC,△DHQ≌△CGP,故DM=CQ,DQ=CP,则DM-DQ=CQ-CP,即QM=PQ.故四边形MNPQ是正方形.

点评:解决此题的关键是,先证明四边形是平行四边形,再证它的一个内角是直角(或一组邻角相等),从而得知这个四边形是矩形,最后证它的一组邻边相等,于是证得这个四边形是正方形.由此可见,方法三是方法一和方法二的组合.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文