菱形性质的运用

卢定波

菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质.另外,菱形还具有特别的性质:菱形的四条边都相等,对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.

例1 (2008年·宜宾)如图1,菱形ABCD中,E､F分别是BC､CD上的点,且BE=DF.求证:AE=AF.

解析:由“菱形的四条边都相等”可知AB=AD.由“菱形对角相等”可得∠B=∠D.再由已知BE=DF,运用SAS可判定△ABE≌△ADF.从而可证明AE=AF.

点评:解本题主要运用了菱形的四条边都相等和对角相等的性质,并结合全等三角形来证明线段相等.也可连接AC,由SAS证△AEC≌△AFC.

例2 (2008年·广州)如图2,在菱形ABCD中,∠DAB=60°.过点C作CE⊥AC,且与AB的延长线交于点E.求证:AD=CE.

解析:由于AC为菱形的对角线,可知∠CAB=∠DAC=30°.因为CE⊥AC,所以∠E=60°.由AD∥BC,可知∠CBE=∠DAB=60°=∠E,所以BC=CE.再由AD=BC,从而可得AD=CE.

点评:本题还可连接BD,由BD⊥AC知BD∥CE.易知四边形BDCE为平行四边形.AD=BD=CE.

例3 (2007年·嘉兴)如图3所示,在菱形ABCD中,不一定成立的是( ).

A. 四边形ABCD是平行四边形

B. AC⊥BD

C. △ABD是等边三角形

D. ∠CAB=∠CAD

解析:由菱形的定义,可知菱形也是平行四边形,故选项A是对的.由“菱形的对角线互相垂直”,可知选项B是正确的.由“菱形的对角线平分一组对角”,可知选项D也是正确的.由“菱形的四条边都相等”可知, △ABD是等腰三角形,但对角线BD与菱形的四条边不一定相等,因此△ABD不一定是等边三角形.只有当BD与菱形的边相等时, △ABD才是等边三角形.因此,选项C不一定成立.

点评:本题要求学生能够熟练地将“文字语言”(定义､性质等)结合具体的图形转化为“几何语言”.

例4 如图4,菱形ABCD的周长为40,点 O是两条对角线AC､BD的交点,且AC∶BD=3∶4.求AC和BD的长.

解析:由“菱形的四条边都相等”,可知AB=1/4×40=10.根据“菱形的对角线互相垂直平分”,可得∠AOB=90°,OA=1/2AC, OB=1/2BD.因AC∶BD=3∶4,所以有OA∶OB=3∶4.不妨设OA=3x,则OB=4x.在

Rt△OAB中,由勾股定理,可知OA2+OB2=AB2,即(3x)2+(4x)2=102,解得x=2.因此OA=3x=6, OB=4x=8,所以AC=2OA=12,BD=2OB=16.

点评:求菱形的边长或对角线长的问题,都是利用菱形的性质,在由边长和两条对角线的一半组成的直角三角形中,运用直角三角形的性质(如30°角所对的边长是斜边长的一半)或勾股定理求解的.

例5 (2008年·大连)如图5,菱形ABCD和菱形QMNP中,∠NMQ =∠ABC,点M是菱形ABCD的对角线AC､BD的交点, MN交AD于点F,MQ交AB于点E.试探究ME与 MF有何关系.请说明你的理由.

解析: ME= MF.理由如下.

过点M分别作MH⊥AB于点H,MR⊥AD于点R.如图6.

由“菱形的对角线平分一组对角”,可知点M在∠BAD的平分线上.又因为MH⊥AB, MR⊥AD,可得MH=MR.又∠HME+∠EMR=∠HMR=∠ABC(想想为什么),∠RMF+∠EMR=∠NMQ=∠ABC,所以∠HME=∠RMF.根据ASA可判定△HME≌△RMF,所以ME=MF.

点评:本题是一道结论探究题,运用了“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”等相关知识,是一道综合性较强的好题.

菱形的性质较多.在解题中,要根据解题的需要, 选用菱形的相关性质.另外,要注意菱形对角线与等腰三角形､直角三角形的紧密联系.