感悟四边形中的数学思想

田家来

数学思想是数学的“灵魂”,是分析问题､解决问题的“金钥匙”.我们在学习数学时,除了要注意解题经验的积累外,还应关注数学思想的总结.现将与四边形有关的数学思想归纳如下.

一､方程思想

例1 如图1所示,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.若将矩形折叠,使点C与点A重合,则折痕为EF.试求折痕EF的长.

解析:如图2,连接AC,AC与EF交于点O.连接AF､CE.因为沿EF折叠后点C与点A重合,所以△AEF和△CEF关于EF对称,所以OA=OC,EF⊥AC.因为四边形ABCD是矩形,所以AE∥FC,所以∠1=∠2.又OA=OC,∠AOE=∠COF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF.所以四边形AFCE是平行四边形.又因为EF⊥AC,所以AFCE是菱形,所以AF=FC.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,所以AC=10.所以OA=OC=5.设BF=x,则CF=8-x,故AF=8-x.在Rt△ABF中,有x2+62=(8-x)2,所以x=.所以CF=.在Rt△FOC中,有OF===,所以EF=.

点评:特殊四边形折叠问题中,求线段的长度,往往是根据折叠性质(相应的边､角相等),通过勾股定理建立方程解决.

二､分类讨论思想

例2 在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC与BD相交于点O,∠BOC=120°,AD=7,BD=10,求四边形ABCD的面积.

解析:满足条件的四边形既可能是等腰梯形,也可能是平行四边形,所以应分类加以讨论.

(1)当四边形ABCD为等腰梯形时,如图3.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E,作DF⊥BC于点F.由∠BOC=120°,知∠OBC=∠OCB=∠DEF=30°,故DF=DE=AC=BD=5.在Rt△BDF中,根据勾股定理得BF==5,故梯形ABCD的面积=(AD+BC)·DF=(CE+BC)·DF=BE·DF=·2BF·DF=25.

(2)当四边形ABCD为平行四边形时,如图4.过B点作BE⊥AC于点E,由∠BOC=120°,得∠OBE=30°,故OE=OB=.根据勾股定理得BE=.在Rt△BEC中,由勾股定理得CE==,OC=CE-OE=3.故△BOC的面积=OC·BE=.而ABCD的面积为△BOC的面积的4倍,故等于15.

综上所述,四边形ABCD的面积为25或15.

点评:对于题中没有给出具体图形的题目,要对可能存在的各种情况加以讨论,要注意不遗漏､不重复.

三､转化思想

例3 如图5,在ABCD中,对角线AC和BD相交于点O .△OBC的周长为59,BD=38,AC=24,则AD= .若△OBC与△OAB的周长差为15,则AB= ,ABCD的周长为 .

解析:要求AD的长,根据已知条件可转化为求BC的长.要求AB的长,关键是将△OBC与△OAB的周长差转化为平行四边形两邻边BC与AB的差 .

在ABCD中,OA=OC=AC,OB=OD=BD,所以有:△OBC的周长=OB+OC+BC=BD+AC+BC=19+12+BC=59.所以AD=BC=28 .

△OBC的周长-△OAB的周长=(OB+OC+BC)-(OA+OB+AB)=BC-AB=15,而BC=28,所以AB=13.

所以ABCD的周长=2(AB+BC)=2×(13+28)=82.

点评:在解题中,对于比较复杂或陌生的问题,常常通过转化将其变为比较简单或熟悉的问题来解决.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文