谈谈四边形的一些性质

贾鹏飞

四条首尾相接的线段组成的图形叫做四边形.组成四边形的四条线段,叫做四边形的四条边.按照四条边是否共面,可以把四边形分为两类:四条边在同一平面内的四边形叫做平面四边形;四条边不在同一平面内的四边形叫做空间四边形.例如,把一张方形的纸铺平,它的四边就组成一个平面四边形;把这张纸沿对角线折一下,使对角线两旁的部分不在同一平面内,这张纸的四条边就组成了一个空间四边形(如图1).初中数学中主要讨论平面四边形.

画出平面四边形的任意一条边所在直线时,如果整个四边形都在直线的同侧,则它是凸四边形(如图2(1));否则它是凹四边形(如图2(2)).初中数学中讨论的四边形主要是凸四边形.

对于一般的四边形,四条边只要能够首尾相接即可,并无其他关于边的位置或长短的要求.梯形､平行四边形､矩形､菱形､正方形则不仅都是四边形,并且各自满足一定的附加条件.像这样满足一定附加条件的四边形称为特殊的四边形.进一步可以看出,矩形､菱形和正方形又是满足一定附加条件的平行四边形,即它们是特殊的平行四边形.

课本在给出一种图形的定义后,会继续讨论由这个定义能进一步推出哪些结论,即得出这种图形的一些性质.这些性质往往是经常用到的主要性质.这种图形很可能还有一些其他性质,课本则未曾涉及.例如,平行四边形除具有课本中所说的“对边平行且相等”,“对角相等”,“对角线互相平分”等主要性质之外,还有“对角线的平方和等于四条边的平方和”这个性质.它可以证明如下.

如图3,作ABCD的高线DE,CF. 利用全等三角形可以证明AE=BF.

AC²=AF²+CF²=(AB+BF)2+BC²-BF²=AB²+BC²+2AB·BF,①

BD²=BE²+DE²=(AB-AE)2+DA²-AE²=AB²+DA²-2AB·AE.②

∵AB=CD,AE=BF,

∴①+②,得AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA².

实际上,图形的所有性质都是由图形定义所确定的.虽然定义本身并未直接表述出所有性质,但是定义中已经隐含了它们.故而以定义为出发点,可以逐步推导出所有性质.

是不是只要一种图形有某条性质,就可以反过来把这条性质当成这种图形的一个判定条件呢?不是!并非一种图形的每个性质都可以拿来作为这种图形的判定条件.例如,正方形具有“对边平行,邻边相等”的性质,但是仅根据一个四边形满足“对边平行,邻边相等”不能判定它是正方形,而只能判定它是菱形.

然而,“对边平行,邻边相等,邻角相等”是正方形所独有的性质,因此它能作为正方形的判定条件.又如,矩形具有“对角线相等”的性质,但是仅根据一个四边形的“对角线相等”并不能判定这个四边形是矩形.等腰梯形和图4中的筝形都是对角线相等的四边形,但它们不是矩形.如果一个四边形“对角线相等”且“对边平行”,则它一定是矩形,即一个四边形“对边平行,对角线相等”可以作为矩形的一个判定条件.总之,一种图形的判定条件,必须是只有这种图形才能够满足的条件.