新工科背景下“线性代数”课程教学改革探讨

摘"要：本文围绕新工科背景下的培养目标，从调整“线性代数”课程体系、加重计算机软件学习的比例、引入案例教学（从实际案例出发，引导学生思考并引入相关理论知识点，并最终解决问题）、注重平时跟踪学习效果的线上线下考核方式等方面进行探讨。秉承能力本位的原则，教学中按照“发现问题—分析问题—解决问题”为主线开展教学，提高学生理论联系实际的能力、解决实际问题的能力和思考能力，本文以“线性代数”课程为平台，践行新工科背景下的新需求、新目标。

关键词：线性代数；案例教学；教学改革

“线性代数”作为数学的一门基础学科，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、信息通信科学、经济学等领域。因此“线性代数”是理工专业学生必修的一门数学类基础课程，选修学生专业广。同时，该课程是研究生入学考试的一门必考课程，主要研究向量、向量空间、线性变换以及线性方程组等知识。因此，学好“线性代数”对于学生将来进入社会或继续深造的重要性不言而喻。“线性代数”课程有着抽象性强、概念多、知识点联系紧密、综合性要求高的特点。学好这门课程对于学生来说是一个挑战，这就要求教师们根据课程特点，针对学生的情况研究教学内容、教学方式，从而推进课程改革。新工科的建设目标是培养引领未来技术与产业发展的卓越工程技术人才，为推进新工科的这一目标，也要求改变传统的教学方式，以“线性代数”课程为例，全面探讨深化改革，力求学生在理解并掌握“线性代数”内容的基础上，提升思维能力以及实际应用场景的实操能力，达到新工科建设的人才要求。下面将从课程体系、计算机软件、案例教学、考核方式等方面展开讨论。

一、针对新工科的目标，建立全新的“线性代数”课程体系

本科阶段“线性代数”内容主要包含：向量、向量空间、线性组合、线性无关与线性相关、矩阵、特征值与特征向量、正交与投影、线性空间和线性变换，这些内容是后续专业课程学习的先导课程以及必需的数学基础。从学科导向转向以产业需求为导向，针对新工科目标，先根据不同专业，了解“线性代数”这门课在各个不同专业后续学习中的实际应用；然后针对不同专业的不同需求，重新设计“线性代数”教学内容，调整不同专业“线性代数”内容的重难点和侧重点，以增强该专业学生的理论联系实际的能力，提高学生运用数学方法分析问题和解决问题的能力，从而达到新工科人才培养的目的。

以大数据、人工智能领域为例，主成分分析（PCA）应用特征值和特征向量，将高维数据映射到低维数据；神经网络中需要大量的矩阵乘法、加法等线性代数运算；大数据处理涉及大规模的线性方程组的求解、数据压缩、特征提取等多个方面，这些可以通过应用高斯消元法、LU分解、矩阵分解等知识进行处理；PageRank算法在涉及和实现过程中涉及矩阵表示、线性方程组、特征值与特征向量、迭代求解以及矩阵运算等，这些线性代数知识为PageRank算法提供了坚实的理论基础和支持。这些技术案例都可以在“线性代数”课程中引入，使学生在学习理论知识的过程中了解其在新技术中的应用，提高课程的与时俱进性，增强学生学习理论的兴趣，并进一步提升学生应用线性代数理论解决问题的能力［1］。要解决上述问题，应先从教材入手，在每一章节的开头增加一个实际问题，以这个问题为出发点，展开后面的理论知识，启发学生在学习的过程中，寻找问题的答案；在章节的结尾处，根据已学的知识，提供开头问题的解决思路，以供学生参考并学习。让“线性代数”理论知识立足于实际案例，最终利用理论知识解决实际问题，学习过程和应用过程交叉融合，两者相互促进。一方面，通过大数据、人工智能等技术问题，建立“线性代数”与这些实际问题的联系，使学生形成数学思维能力，能够将实际问题提炼为线性代数问题并解决的能力。另一方面，在解决问题的过程中，学生所学的线性代数知识又能得到更深入的理解和掌握，并形成自己成熟的数学思想和方法。通过“问题—学习知识—思考—解决问题—加深知识的理解”这一过程，扎根于现实实例，增强学生解决现实问题的能力，为学生的专业学习和新技术探索奠定良好的基础，同时还可以进一步推动大数据、人工智能等研究方向的发展。因此，在掌握“线性代数”基本理论知识的基础上，针对不同专业的学生，在教材中加入相关的案例，引导学生理解线性代数知识在本专业的地位和作用，可以进一步提高学生对“线性代数”的学习兴趣，并进一步深刻理解本专业的未来应用场景，对学好本专业起到一定的促进作用。

由于传统课程授课方式的局限性，教材上的例题和练习题涉及的数据量小，并且数据的选择上也需要便于手算。而生活、生产和科学研究实践中的问题都比较复杂，是一个系统性的大问题，涉及的数据量大，甚至是大数据。在这种情况下，课程内容不光是课上引入实际案例，还需要在教材上增加贴近现实的实际案例，让学生体会并学会用“线性代数”的知识去解决实际问题。否则，即使把“线性代数”知识都理解掌握，在解决实际问题时，由于实操能力弱，也无法推进完成。

除了在书本中加入案例，还应该对传统的习题进行修改。传统的习题偏简单化、数据量小，一般一题考查了若干个知识点，这不利于提升学生解决实际问题的能力。因此，应该在每一章增加一些源于实际生产生活中问题，学生在解决问题的过程中，不再只局限于“线性代数”知识的应用，而要综合专业知识、高等数学等专业素养去解决问题。除此之外，有些题型设计还应该满足层次性。对于一个同样的场景，随着知识的积累，在后面章节中，对相同的场景下需要解决的问题难度层层加码，从而实现问题设计与实际问题的一致性。这样可加深学生对知识的内在转化，激发学生的主观能动性，并进一步地践行课本以及案例教学的目标和思想。

二、新工科建设背景下“线性代数”课程案例教学

案例教学是一种互动式的，通过模拟现实实例，将学生代入实例中，通过小组讨论、调研学习的一种教学方法。传统“线性代数”课程教学强调教师的主体地位，教师在知识的传授上占据主动权，学生被动接收知识。对于抽象的数学概念和复杂的逻辑推理，学生一旦未能跟上教师的速度，容易导致学生的学习效果不佳，且在长时间学习过程中容易失去学习兴趣和动力。除此之外，传统学习方式中知识的实际应用的缺失，导致学生难以对后续专业课程进行理解，这与新工科的人才培养目标不符。通过引入具有代表性的例子，让学生在案例的思考、分析、讨论中，建立起自己完整而又严密的逻辑思维方法，同时也能提高学生分析问题、解决问题的能力。“线性代数”的学习不仅仅是使学生知道如何计算特征值、特征向量等，而在于这些知识背后的强大应用场景，使学生在解决实例问题的过程中理解其思想、方法。案例教学不仅能使学生从被动接受知识转变为主动探索，也让学生更加直观地感受到知识的实际应用。学生需要针对具体案例进行问题识别、数据收集、问题分析等，这些过程也是素质教育的依托形式。在目前的“线性代数”教学中，经常是将理论知识直接抽象植入，计算也是直接将规则告诉学生，这样使学生在学习中对各种抽象定义感到空洞、茫然。因此，教师针对不同专业背景的学生拓展相应的应用实例显得尤为重要。为达到新工科背景下人才培养的新目标，在“线性代数”课程的教学实践过程中，需要将案例引入，通过理论和应用相结合的教学方法，增加课程的趣味性和理论的完整性。教师课堂上补充针对不同专业的典型“线性代数”的模型实例，以培养学生应用“线性代数”知识建模能力和解决实际问题的能力，并搭建“线性代数”与各个专业之间的纽带。

以克拉默法则的应用为例，传统的“线性代数”课程讲解重点在于通过消去法归纳出线性方程组的求解，在此基础上学生只需要利用克拉默法则公式求解线性方程组，最终转化为求解D，D1，D2，…，Dn行列式的值，再代入公式计算即可。但这对学生思维能力的提升没有任何作用，只是让学生进行机械的计算，而这些计算在计算机的帮助下是很容易实现的，花大量的时间在解方程组的讲解和训练上，意义不大［2］。在新工科背景下，课程内容应该突出提升学生解决问题的能力。以交通流建模为例，在流量已知的十字路口，根据流入流量和流出流量相等的规则，构造矩阵方程求解，应用克拉默法则判定齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解，突出该知识点的应用［3］。以图形变换为例，矩阵变换可将3D模型投影到2D屏幕上，“线性代数”被广泛应用于图形的渲染、动画、物理模拟等方面。在案例教学中，一方面，淡化无意义的计算量；另一方面，实例引导学生的思维能力，保持学生对后续知识点的兴趣。借助现实应用问题，帮助学生了解抽象枯燥的数学知识背后的强大能力，进而保持对“线性代数”课程持久的学习力，提升学生接受新知识的能力。同时，在“互联网+”新技术背景下，新工科教育注重培养学生的新技术实践能力，案例教学也是实现这一目标的方式。因此，“线性代数”课程内容设计需要联系实际问题，并以实际问题与数学模型的转化为方向，培养学生的数学思维，对复杂的现实应用问题进行求解。

以矩阵运算的教学为例，矩阵是一个数表，并在此基础上定义了加、减、乘、除（逆），从方程组出发，引出矩阵，学生对矩阵的理解也只会停留在数学理论层面，并且会对矩阵的加减乘除运算规则，尤其是乘法运算规则的定义产生疑惑。因此，需要将每个运算规则对应于至少一个实际应用，帮助学生更好地理解运算规则，进而促进理论的掌握。比如，在计算科学中，图像可用3个三原色矩阵输入，要对图像进行增强、恢复、变换等操作来改善视觉效果，实际上就是对这3个三原色矩阵的加、减、乘、求逆、数乘等运算处理。利用矩阵变换，可以实现图像的平移、旋转、缩放、翻转等几何变换。“线性代数”中的卷积运算在图像处理中用于实现滤波操作，如平滑、锐化、边缘检测等。此外，奇异值分解技术可用于图像压缩，通过图像矩阵进行SVD分解，可以提取出图像的奇异值，并保留这些奇异值来重建图像，从而实现压缩。逆矩阵还可以用来恢复图像和加密，从这些实际问题中提炼出来的矩阵概念，可以方便并巩固相关理论的学习和理解。教师和学生的地位平等，教师与学生共同分析理论的由来以及这些理论与实际问题的联系，这样就完成了从实际应用到数学知识的学习，然后再反馈到实际应用的过程，学生在教师的指导下，参与案例并深入分析案例。这样的教学过程能发挥学生的主观能动性，同时能提高理论知识的学习效果。

在实际建筑工程当中，复杂的受力结构需要通过线性代数进行精确分析。比如，由拉压杆组成的桁架结构，其各杆所受力通过线性方程的求解得到，并通过矩阵运算得到各杆件的具体受力情况。在处理实际工程当中，结合特征值、特征向量的求解，建立相应的微分方程，能更好地预测在建设过程中哪些方面需要加强处理，以保障工程质量与安全。以混凝土配比问题为例，实际应用中需要根据具体用途要求各成分比例控制在一定范围内，通过求解四元线性方程组可得到各标准混凝土的具体配比量。在解决上面问题的过程中，不仅需要学生掌握矩阵变换的重要知识点，还要求学生具备利用矩阵相关知识进行数据处理的能力。

三、注重数学软件的学习

在学习“线性代数”的知识时，学生在课堂上的计算练习是比较简单的，复杂的计算采用笔算很难实现。在学生掌握了基本的计算准则理论之后，需要增加相关计算软件的学习。这不仅能够强化理论知识的掌握，加快计算速度，也是未来应用的基础和关键。从学生角度来看，这可以增加“线性代数”这门课程的趣味性，从而提高学生学习的积极性，并更好地理解掌握这门课程的重要性。MATLAB数学软件具有强大的功能，计算行列式、矩阵的逆、特征值、特征向量的求解只是该软件的基础功能，一个函数或者命令即可实现，但是手算计算却要花费一定的时间。通过MATLAB软件的学习，提高学生学习的积极性，促进学生的自我发展和实际应用能力［4］。比如，对向量组进行单位正交化，需要用施密特正交化方法，先正交化，再单位化，得到满足条件的原向量组等价的单位正交向量组。而编程计算，调用MATLAB中的orth函数对其进行单位正交化运算，输出即为等价的单位正交向量组。数学软件不仅可以便利“线性代数”中的计算，而且学生可以通过软件的帮助，深刻理解“线性代数”中的基本概念。如向量中的张量积，根据定义是两个向量生成一个矩阵的运算。如果只是从运算定义上给学生进行讲解，学生不能理解其内在意义，而且在后期学习中，也会造成学习动力不足。借助软件的帮助，通过可视化这一运算结合相互独立的随机变量密度函数的混合密度和各自的边缘密度来理解这一运算概念，可以更好地帮助学生理解这一运算的本质。

因此，在学习完每一单元的概念、理论和运算之后，需要安排计算机实现课程，讲授使用MATLAB软件处理本单元“线性代数”理论，并安排一定的上机实操课，使学生在掌握了“线性代数”理论知识之后，还能够具备相应的处理复杂现实问题的能力。

四、考核方式进一步优化，摒弃单一考核方式

学习效果的程度是衡量一门课程是否成功或者有效的重要标志之一，因此需要教师能够及时掌握，并根据学生的反馈情况及时调整上课的节奏和内容。教师应充分利用网络教学平台，在平台上发布知识点视频和资料，布置线上微课作业，增加课程互动等环节。考核也应该线上线下统筹考查，线上作业、学习效果评估、师生互动等环节应该设计在考核标准之中。除此之外，教师还要借助线上后台统计功能，随时了解学生学习情况，对账号活跃度不高的学生及时交流，询问原因。这样，可以有效避免出现学生最后集中备考的情况，并可对学习效果进行一个全面的评估。

结语

新工科背景下的“线性代数”课程的建设需要从不同专业需求进行全面探索和不断优化。在新工科培养目标主导下，以学生为主体的教育理念，从课程内容设计、案例教学引入、软件教学的侧重、借助教学平台线上线下统筹的考核方式等全方位进行改革，针对不同层次和不同专业的学生需求形成一套科学全面的培养和考核方式，为我国社会主义建设培养应用型、创新型人才。通过教材、案例教学等方面的改进，学生的学习主观性、师生互动和考核成绩等方面均有明显提升。

参考文献：

［1］刘江涛.大数据下云计算的人工智能创新分析［J］.互联网刊，2023（16）：4345.

［2］张彬，潘海军.新工科背景下线性代数课程的教学改革与实践［J］.科技风，2023（12）：9496.

［3］吴爱华，杨秋波，郝杰.以“新工科”建设引领高等教育创新变革［J］.高等工程教育研究，2019（1）：17.

［4］杨威，高淑萍，陈怀琛，等．新工科背景下线性代数教学中改革与探索：以国家精品在线开放课程《实用大众线性代数》为例［J］.高教学刊，2020（5）：812.

课题：2023年度中国建设教育协会教育教学科研立项（项目号：2023182）——新工科背景下的建设类专业“线性代数”课程建设

*通信作者：杨帆（1984—"），女，汉族，江西进贤人，博士，副教授，硕士生导师，研究方向：运筹学与图论。

作者简介：石玮（1984—"），女，汉族，山东东营人，博士，副教授，硕士生导师，研究方向：振荡微分方程保结构算法。