一道抽象函数与其导数交汇问题的多解探究

高考与模考试题中，频频出现抽象函数与其导函数的交汇问题，因此，关注此类问题的解法尤为重要.本文中采撷一道模考真题，通过多解探究，旨在拓宽解题思维方法，提升对有关变形技巧和常见规律性结论的灵活运用能力，进一步提高分析、解决此类抽象函数问题的能力.

1 好题采撷

（2023年湖北二模第8题）已知函数f（x）及其导函数f′（x）定义域均为R，满足f32+x－f32－x=2x，记g（x）=f′（x），其导函数为g′（x），且g′（3－x）的图象关于原点对称，则g′（9）+g92=（" ）.

A.0

B.3

C.4

D.1

2 试题分析

本题比较深入地侧重考查抽象函数及其导函数的性质与求值运算，且具有一定的新颖性、综合性，值得我们去关注、赏析！

3 解法探究

解法1：因为f32+x－f32－x=2x，又注意到32+x－32－x=2x，所以可变形得f32+x－32+x=f32－x－32－x，而该等式两边外在结构相同，从而极易想到构造函数h（x）=f（x）－x，则有h32+x=h32－x，所以函数h（x）的图象关于直线x=32对称，从而导函数h′（x）的图象关于点32，0对称.

又易知h′（x）=f′（x）－1，从而可知函数f′（x）－1的图象关于点32，0对称，所以f′（x）的图象关于点32，1对称，即g（x）的图象关于点32，1对称，则g32=1.

因为g′（3－x）的图象关于原点对称，即g′（3－x）是奇函数，所以可得g′（3－x）=－g′（3+x），即g′（3－x）+g′（3+x）=0，可知g′（x）的图象关于点（3，0）对称，从而g（x）的图象关于直线x=3对称.

于是，根据“g（x）的图象关于点32，1对称”和“g（x）的图象关于直线x=3对称”，可得g（x）是以432－3=6为周期的周期函数，所以g′（x）也是以6为周期的周期函数.又由g′（3－x）+g′（3+x）=0可得g′（3）=0，因此有g′（9）=g′（3）=0.

根据g（x）的图象关于直线x=3对称和g32=1，可得g92=g32=1.

所以g′（9）+g92=0+1=1.故选：D.

评注：该解法侧重于灵活构造函数，并充分运用函数与其导函数的对称性、周期性解题.需要特别提醒的是——一般地，若函数f（x）是周期函数，则其导数f′（x）也是周期函数，且二者周期相同；反之，若f′（x）是周期函数，则f（x）不一定是周期函数.

解法2：因为f32+x－f32－x=2x，所以变形得f32+x－x=f32－x－（－x）.于是，设函数h（x）=f32+x－x，则有h（x）=h（－x），所以函数h（x）是偶函数，从而h′（x）是奇函数.又由h（x）=f32+x－x，可得h′（x）=f′32+x－1，所以函数f′32+x－1是奇函数.又注意到将函数f′32+x－1的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移32个单位长度，可得函数f′（x）的图象，所以f′（x）的图象关于点32，1对称，即g（x）的图象关于点32，1对称，则g32=1.

因为g′（3－x）的图象关于原点对称，又注意到将函数g′（3－x）的图象向左平移3个单位长度可得函数g′（－x）的图象，所以函数g′（－x）的图象关于点（－3，0）对称.而函数g′（x）与g′（－x）的图象关于y轴对称，则函数g′（x）的图象关于点（3，0）对称，所以g（x）的图象关于直线x=3对称.

以下解题过程，同解法1，略.

评注：解法2与解法1的区别有以下几点.一是变形不同，导致构造的函数也不同；二是充分运用函数图象的变换规律，灵活分析函数g（x）的图象的对称性.

解法3：因为f32+x－f32－x=2x，所以两边求导得f′32+x+f′32－x=2，所以f′（x）的图象关于点32，1对称，即函数g（x）的图象关于点32，1对称，所以g32=1.

因为g′（3－x）的图象关于原点对称，即g′（3－x）是奇函数，又注意到函数y=－g（3－x）+c（其中c为实常数）的导函数为g′（3－x），于是可得函数y=－g（3－x）+c是偶函数，故－g（3－x）+c=－g（3+x）+c，化简得g（3－x）=g（3+x），所以g（x）的图象关于直线x=3对称.

以下解题过程，同解法1，略.

评注：解法3侧重于灵活运用求导技巧以及函数与其导函数之间的奇偶性关系，其中通过求导获得“g32=1”比较简单，可看作是前述解法1、解法2对应解析过程的“优化”.

解法4：因为f32+x－f32－x=2x，又注意到32+x－32－x=2x，所以极易想到取一个特殊的函数f（x）=x，再考虑函数f（x）=x是否满足其他题设条件.

对f（x）=x，求导得f′（x）=1，所以g（x）=1，则g′（x）=0，所以g′（3－x）=0，于是g′（3－x）的图象关于原点对称.因此，函数f（x）=x满足其他题设条件.

于是，可得g′（9）+g92=0+1=1.故根据“排除法”可知正确答案为选项D.

评注：通过解法4可知，本题作为非解答题在设计上欠妥，理由是——在观察分析的基础上，可以简简单单地进行“秒杀”，从而轻松获解！此外，也可取f（x）=32+x求解.

4 变式题

（多选题）已知函数f（x）及其导函数f′（x）定义域均为R，满足f32+x－f32－x=－2x，记g（x）=f′（x），其导函数为g′（x），且g′（3+x）的图象关于y轴对称，则下列结论正确的有（" ）.

A.函数y=f（x）+x的图象关于直线x=32对称

B.g32=－1

C.函数g′（x）的图象关于直线x=3对称

D.g（3）=0

解析：因为f32+x－f32－x=－2x，又注意到32－x－32+x=－2x，所以可变形得f32+x+32+x=f32－x+32－x，而该等式两边外在结构相同，从而极易想到构造函数h（x）=f（x）+x，则有h32+x=h32－x，所以函数h（x）的图象关于直线x=32对称，从而导函数h′（x）的图象关于点32，0对称.

又易知h′（x）=f′（x）+1，从而知函数f′（x）+1的图象关于点32，0对称，所以f′（x）的图象关于点32，－1对称，即g（x）的图象关于点32，－1对称，故g32=－1.

因为g′（3+x）的图象关于y轴对称，即g′（3+x）是偶函数，可得g′（3+x）=g′（3－x），所以g′（x）的图象关于直线x=3对称.

由于g′（3+x）=g′（3－x），因此可知函数y=g（3+x）+g（3－x）的导函数为y′=g′（3+x）－g′（3－x）=0，所以函数y=g（3+x）+g（3－x）=c（其中c为实常数），从而可得g（x）的图象关于点3，c2对称，则g（3）=c2.

综上，可知选项ABC正确.故选：ABC.

评注：一般地，若导函数f′（x）的图象关于直线x=a对称，则函数f（x）的图象关于点（a，t）对称，且f（a）=t，其中t∈R.特别地，若导函数f′（x）的图象关于直线x=0对称（即f′（x）是偶函数），则函数f（x）的图象不一定关于原点对称（即f（x）不一定是奇函数）.

总之，关注抽象函数与其导函数的交汇问题，有利于帮助我们理解、掌握常用解题思维方法，不断积累解题经验，避免一些常见错误的产生，同时有助于较好地培养数学抽象与逻辑推理核心素养.