齐次化构造解圆锥曲线中定点定值问题

摘要：解析几何作为数学学科的必考重点，值得同学们重视起来！定点问题是高考命题的一个热点，也是高考数学的一个难点，要注意定点定值问题是解析几何解答题的考查重点.此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题、曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识.考查数形结合、分类讨论、化归与转化、函数和方程等数学思想方法.定点、定值和定线问题是解析几何中的热点题型，也是高考命题考查的\"常青树\".由于这类问题需要探索、确定定点在什么位置，定值是什么，有什么样的定直线，因而解题中既需要严格的分析和推理论证，又需要复杂精准的数学运算，能很好地体现对数学抽象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养的考查.

关键词：解析几何；定点定值问题；数形结合思想

改编题" 在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（2，0），过双曲线C：x2-y2b2=1（bgt;0）的左顶点P作两条动直线l1：y=k1（x+1），l2：y=k2（x+1）分别与C交于另外两点A，B.当k1＝1时，|PQ|＝|AQ|.

（1）求b的值；

（2）当k1k2=-1时，|AQ||BQ|＝2，求k1和k2的值.

原题" （2024苏锡常镇一模第18题）在平面直角坐标系xOy中，已知点P0，-53，过椭圆C：x2a2+y2=1（agt;1）的上顶点A作两条动直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x+1（0lt;k1lt;k2）分别与C交于另外两点M，N.当k1=22时，|AM|=|PM|.

（1）求a的值；

（2）当k1k2=1，|MN||NP|=98时，求k1和k2的值.

1 命题过程

原命题研究的有关圆锥曲线定点定值问题，是椭圆中的定点定值问题，由于k1＼5k2=λ≠b2a2，则直线过定点λa2+b2λa2－b2x0，－λa2+b2λa2－b2y0.笔者将椭圆方程进行改编，得到如下初稿：

在平面直角坐标系xOy中，已知点P13，0，过椭圆C：x2+y2b2=1 （bgt;1）的左顶点A作两条动直线l1：y=k1x－1，l2：y=k2x－1（k2lt;0lt;k1）分别与C交于另外两点M，N.当k1=22时，|AM|=|AP|.

（1）求b的值.

（2）当k1k2=1，|MP||NP|=32 时，求k1和k2的值.

本题解法和2024年苏锡常镇一模第18题一样，没有太多变化.我们知道椭圆和双曲线之间存在密切的关系，主要体现在方程和几何性质上，笔者把椭圆的左顶点改为双曲线虚轴的上顶点P（0，b），发现点不在曲线上，由斜率定值无法得到直线过定点，于是把定点改为双曲线x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）上的点（x0，y0），由于k1＼5k2=λ≠－b2a2，则知直线过定点λa2－b2λa2+b2x0，－λa2－b2λa2+b2y0.为了降低题目难度，就把左顶点作为定点，那么定点就在x轴上，并且可以利用双曲线上两点关于中心对称，它们与双曲线上任一点构成的直线的斜率之积是定值，即k1＼5k2=e2－1=b2a2，可以利用此性质求解此题，于是就有了二稿，也就是本文中的改编题.

2 试题分析与思维导图

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出斜率k和纵截距m的一次函数关系式，代入直线方程即可.技巧在于：设哪一条直线，如何转化题目条件.圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考.如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍.

改编题的思维导图见图1与图2.

3 试题解析

3.1 第（1）问的解答

方法一：根据直线方程，然后利用联立、消元、判别式、韦达定理，分别求出A，B点的坐标，再根据|PQ|＝|AQ|，求出b的值.

因为k1＝1，所以l1的方程为y=x+1.

由y=x+1，x2-y2b2=1，得b2x2-（x+1）2=b2，即

（b2-1）x2-2x-b2-1=0.

所以xAxP=-1-b2b2-1=-xA，则

xA=b2+1b2-1，

yA=b2+1b2-1+1=2b2b2-1.

于是Ab2+1b2-1，2b2b2-1，则有

|AQ|2=b2+1b2-1-22+2b2b2-12=|PQ|2=9.

整理得-b2+3b2-12+2b2b2-12=9，即

b4-6b2+9+4b4=9（b4-2b2+1）.

所以4b4-12b2=0，解得b2＝3.

故双曲线方程为x2-y23=1.

方法二：此题比较特殊，由直线AP的斜率得到△APQ是等腰直角三角形，从而得到AQ的长度，进一步求出b的值.

因为k1＝1，所以∠APQ=45°.

又|PQ|=|AQ|，则∠AQP=90°.所以|AQ|=3=b2a=b2，

解得b2＝3.

所以，双曲线方程为x2-y23=1.

3.2 第（2）问的解答

方法一：通过设AP，BP方程，分别求出A，B点坐标，再由|AQ||BQ|＝2，求出斜率.

设lPA：x=my-1，lPB：x=ny-1.

由x=my-1，3x2-y2=3，可得

（3m2-1）y2-6my=0.

所以yA+0=yA=6m3m2-1.

所以xA=m＼56m3m2-1-1=3m2+13m2-1，则有A3m2+13m2-1，6m3m2-1.

同理，可得B3n2+13n2-1，6n3n2-1.

又因为1m＼51n=-1，即mn=-1，所以点B的坐标为3+m23-m2，-6m3-m2.

因为|AQ||BQ|＝2，则有|AQ|2＝4|BQ|2，所以3m2+13m2-1-22+6m3m2-12＝43+m23-m2-22+-6m3-m22，

整理可得35m4-18m2-5=0，也即（5m2+1）（7m2-5）=0.

解得m2=57，则k2=1m2=75.

所以k1=355，k2=-535=-357.

方法二：直接设AB的方程，找到A，B两点坐标的关系，得到直线AB过定点Q，再由向量共线定理，求出A，B的坐标.

设直线AB方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.

由y=kx+m，3x2-y2=3，得

（3-k2）x2-2kmx-m2-3=0.

所以x1+x2=2km3-k2，x1x2=-m2-33-k2.

因为k1k2=-1，即PA＼5PB＝（x1+1，y1）＼5（x2+1，y2）＝0，

所以x1x2+x1+x2+1+y1y2=0.

故（k2+1）x1x2+（km+1）（x1+x2）+m2+1=0.

所以2m2-4k2+2km=0，即（m-k）（m+2k）=0.

解得m=k或m＝-2k.

当m=k时，直线AB过点（-1，0）；

当m＝-2k时，直线AB过点（2，0）.

所以A，B，Q三点共线，且AQ＝2QB，则（2-x1，-y1）＝2（x2-2，y2）.

所以2-x1=2（x2-2），-y1=2y2.

又|AQ||BQ|＝2，则yA=-2yB，所以

3（6-2x2）2-（-2y2）2=3.

又3x22-y22=3，则12x22-72x2+108-4y22=3.

所以12x22-72x2+108-4（3x22-3）=3，整理为-72x2+117＝0.

解得x2=138，则x1=114，从而

y1=±3354，y2=±3358.

所以当A114，3354，B138，-3358时，k1=kAP=355，k2=kBP=-357.

当A114，-3354，B138，3358时，k1=kAP=-355，k2=kBP=357.

方法三：设点G为右顶点，由kAP·kAG=e2－1，kBP·kBG=e2－1，得到A，B两点坐标之间的关系，再由两点式表示出直线AB的方程，可知直线过定点.

由kAPkAG=b2a2=3，kBPkBG=b2a2=3，得k1＼5y1x1-1=3，k2＼5y2x2-1=3.

所以k1=3（x1-1）y1，k2=3（x2-1）y2.

又k1k2=-1，则y1x1+1＼53（x2-1）y2＝-1，y2x2+1＼53（x1-1）y1＝-1，即

3x2y1-3y1+x1y2+y2=0，3x1y2-3y2+x2y1+y1=0.

①②

由①-②，得2x2y1-2x1y2-4y1+4y2＝0，即

（x2y1-x1y2）＝2（y1-y2）.

又直线AB的方程为y=y2-y1x2-x1（x-x1）+y1，即y=y2-y1x2-x1x+-y2x1+x1y1+x2y1-x1y1x2-x1

，也即y=y2-y1x2-x1x+x2y1-x1y2x2-x1，整理为y=y2-y1x2-x1（x-2）.

所以，直线AB恒过定点（2，0）.

以下处理同方法一.

方法四：圆锥曲线齐次化原理是一种利用投射以将圆锥曲线映射到笛卡儿坐标的方法.该原理可以用来解决圆锥曲线在设计空间中出现的问题.

设直线AB的方程为m（x+1）+ny=1.

由x2-y23=1，得

3［（x+1）2-2（x+1）+1］-y2=3.

所以3（x+1）2-6（x+1）-y2=0.

所以3（x+1）2-6（x+1）［m（x+1）+ny］-y2=0，即（3-6m）（x+1）2-6n（x+1）y-y2=0.

整理，得y2（x+1）2+6nyx+1+（6m-3）=0.

所以k1k2=6m-3=-1，解得m=13，则直线AB的方程为13（x+1）+ny=1.

令n=0，得x=2，所以直线AB恒过定点（2，0）.

以下方法同方法一.

方法五：将定点平移到原点，写出平移后的圆锥曲线方程（遵循“左加右减，上减下加”原则），利用韦达定理与题设关系求解，若求出定点，则需要注意此定点为平移后的点，还需变换成原坐标系中的点.

因为将双曲线平移至（x-1）2-y23=1，即

3x2-6x-y2=0，

所以此时点P平移至P（0，0），A，B两点分别平移至A′（x1，y1）B′（x2，y2）.

设直线A′B′的方程为mx+ny=1.

所以3x2-6x（mx+ny）-y2=0，即

（3-6m）x2-6ny-y2=0.

整理，得yx2+6n＼5yx+（6m-3）=0.

所以kAPkBP=kA′P′kB′P′＝6m-3＝-1.

解得m=13，则直线A′B′的方程为13x+ny=1.

所以直线A′B′恒过定点（3，0），从而直线AB恒过定点（2，0）.

以下方法同方法一.

4 试题链接

题1" 已知双曲线方程x2a2-y2b2=1（a＞0，bgt;0）中，焦距为42，且双曲线过P（-3，1）斜率.不为零的直线与双曲线交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点P.

（1）求双曲线方程.

（2）是否存在直线AB，使得点P到直线AB的距离最大？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.

题2" 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，bgt;0）的右顶点E（1，0），它的一条渐近线的倾斜角为120°.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点（-2，0）作直线l交双曲线C于M，N两点（不与点E重合），求证：EM⊥EN;

（3）若过双曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若AP=λPB，λ∈13，2，求△AOB面积的取值范围.

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5 检测评价

改编题第（1）问总分6分，学生平均得5.2分，第（2）问总分11分，学生平均得分5.8分.比第一次做苏锡常镇一模好很多，题目变简单了，再加上后来的训练，做得比之前好了.好多同学运算不过关，采用一二种方法，计算量比较大，时间不够，正如2024年全国新Ⅰ卷第16题，好多同学没时间计算.另外，对于此题，学生不知道直线AB过定点Q，遇到|AQ||BQ|＝2不会转化成横坐标之间的关系，而是盲目地死算.这类题目可以说是六种类型里最套路的一种，按部就班基本就能顺利解决，2022年高考数学试卷中第21题的第一问就是双曲线中两直线斜率之和为定值问题.定值问题通常涉及到圆锥曲线上的某些特定值或性质，如焦距、离心率、准线等，这些问题可以表现为求解特定参数的值、证明某个性质成立等条件.

6 命题体会

在出题时可以根据教学目标和学生的学习情况，选择不同类型的定值问题进行设计，确保题目既有挑战性又不失合理性.在出题过程中，需要对学生的解题过程中可能出现的易错点进行预测和分析，这些易错点可能包括对基本概念的理解不准确、解题思路不清晰、运用过程出错等.通过分析这些易错点，可以在题目设计时有针对性地进行提示和引导，帮助学生避免犯错，确保题目能够全面考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握情况.同时，还需要注意知识点的整合方向，避免出现知识过于分散或重复的情况.