圆锥曲线中几种简化运算的处理方法

摘要：圆锥曲线问题是高考的热点问题，也是难点问题，对学生运算能力要求较高，本文中主要例谈了圆锥曲线问题的几种简化运算的处理方法.

关键词：圆锥曲线；简化运算

圆锥曲线问题是高考的热点问题，也是难点问题，对学生的逻辑推理和数学运算两大核心素养有着较高要求.如何简化圆锥曲线问题的运算呢？笔者以近几年高考题为例，谈谈一些处理策略.

1 利用“曲线与方程思想”减计算

方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0（A2+B2≠0）表示一条二次曲线，包括高中涉及的圆、椭圆、双曲线与抛物线.

方程l1：A1x+B1y+C1=0（A21+B21≠0）和l2：A2x+B2y+C2=0（A22+B22≠0）表示两条直线，那么方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0可以表示l1和l2上所有点集构成的曲线方程.

设二次曲线Γ1：f1（x，y）=0和Γ2：f2（x，y）=0，则方程λ1f1（x，y）+λ2f2（x，y）=0表示所有经过Γ1与Γ2交点的曲线方程.

例1" （2023新高考II第卷第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－25，0），离心率为5.

（1）求双曲线C的方程；

（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，求证：点P在定直线上.

解析：（1）易知双曲线C的方程为x24－y162=1.

（2）证明：设kMA1=k1，kNA1=k2，kNA2=k3，则

直线MA1，NA1上所有点集构成的曲线方程可以写成［y－k1（x+2）］·［y－k2（x+2）］=0，即

y2－（k1+k2）（x+2）y+k1k2（x+2）2=0.①

又M，N在双曲线C上，其坐标满足x24－y162=1，即

y2=4x2－16=4（x+2）（x－2）.

②

将②代入①，得4（x+2）（x－2）－（k1+k2）·（x+2）y+k1k2（x+2）2=0.

上式表示过M，N，A1三点的曲线方程，则MN的方程为4（x－2）－（k1+k2）y+k1k2（x+2）=0.

又直线MN过点（－4，0），所以可得k1k2=－12.

由kNA1kNA2=k2k3=e2－1=4，可得

k1k3=－3.

设直线MA1方程为y=k1（x+2），

直线NA2方程为y=k3（x－2）.

联立两直线方程，可得x+2x－2=－13，解得

x=－1，即交点P在定直线x=－1上.

评析：本题中，三条直线MN，MA1，NA1在双曲线内两两相交构成双曲线的内接三角形，由MA1，NA1两直线方程相乘所得到的新的方程可以表示过M，N，A1三点的曲线方程，结合双曲线方程，对该方程化简，进而得到直线MN的方程.由MN过定点，可知MA1，NA1两直线斜率关系，进而得到MA1，NA2的斜率关系.解MA1，NA2两直线方程得到答案，非常巧妙，也减少了计算.

通过同样的处理可以解决2020年新课标I卷理科第20题，这里不再赘述.

2 “非对称”问题的简化计算

如何简化“非对称”问题的计算，下面以2020年新课标I卷理科第20题为例来说明.

例2" （2020新课标I卷理科第20题）已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（agt;1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D.

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

对于第（1）问，易得椭圆E的方程为x29+y2=1.下面重点说明第（2）问中“非对称”问题的简化计算.

设C（x1，y2），D（x2，y2），P（6，n）.由P，C，A和P，B，D三点共线可得关系式y1x1+3·x2－3y2=13（此处非对称式），有以下几种处理方式.

（i）由y1x1+3＼5x2-3y2=13，得

3y1（x2－3）=（x1+3）y2，则3y1（x2－3）（x1－3）=（x1+3）（x1－3）y2=（x21－9）y2，又由x219+y21=1，得x21－9=－9y21，代入上式得（x2－3）（x1－3）=－3y1y2.

（ii）由

y1x1+3·x2－3y2=13，得y21（x2－3）2y22（x1+3）2=19，则可得

（3+x1）（3-x1）（x2-3）2（x2+3）（3-x2）（x1+3）2=19，

所以可得（x1－3）（x2－3）（x1+3）（x2+3）=19.

整理可以得到

4x1x2－15（x1+x2）+36=0.

（iii）由椭圆第三定义得kDAkDB=－b2a2=－19，所以y2x2+3·y2x2－3=－19，即x2－3y2=－9y2x2+3，代入y1x1+3·x2－3y2=13得9y1y2x1x2+3（x1+x2）+9=－13.

变式" 已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右顶点，长轴长是6，离心率e=223.

（1）求椭圆E的方程.

（2）过点32，0的直线l交E于点C，D，试探究直线AC和直线BD的交点是否在一条直线上.若在，求出直线方程；若不在，请说明理由.

解：（1）易求得椭圆E的方程为x29+y2=1.

（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），则直线AC的方程为y=y1x1+3（x+3），直线BD的方程为y=y2x2－3＼5（x－3）.由对称性知，若所探求的直线存在则一定垂直于x轴.联立直线AC和直线BD的方程，消去y得x－3x+3=y1（x2－3）y2（x1+3）（此处出现非对称式）.

以下是两种处理方式：

（i）找y1+y2与y1y2的倍数关系.

由x=my+32，x29+y2=1，得（4m2+36）y2+12my－27=0，则y1+y2=－12m4m2+36，y1y2=－274m2+36.

所以my1y2=94（y1+y2）.

于是x－3x+3=y1（x2－3）y2（x1+3）=y1my2－32y2my1+92=94（y1+y2）－32y194（y1+y2）+92y2=13，解得

x=6.故存在这样的直线.

（ii）由x－3x+3=y1（x2－3）y2（x1+3）=y1my2－32y2my1+92=my1y2－32y1my1y2+92y2=my1y2－32y1my1y2+92（y1+y2）－92y1=－27m4m2+36－32y1－81m4m2+36－92y1=13，解得x=6.故存在这样的直线.

评析：“整式型非对称式”由不对称化为对称，“分式非对称求值型”由不对称求比值，这两种方法共同体现了数学是“对称美”和“非对称美”的有机结合，反映了数学问题的本质.2023年新高考II卷第21题也能同样处理.

3 借用“点乘双根法”减计算

例3" （2021新高考I卷理科第21题）在平面直角坐标系中，已知点F1（－17，0），F2（17，0），|MF1|－|MF2|=2，点M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解：（1）易求得C的方程为x2-y216=1（x≥1）.

（2）设T12，t，A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k1x－12+t，联立曲线C的方程x2－y216=1可得16x2－k1x－12k1+t2－16=0.

令f（x）=16x2－k1x－12k1+t2－16，由A（x1，y1），B（x2，y2）是直线与双曲线的交点，可知

f（x）=（16－k21）（x－x1）（x－x2），所以

f12=16122－k1×12－12k1+t2－16=－12－t2=（16－k21）12－x112－x2.

所以x1－12x2－12=12+t2k21－16.

又由Ax1，k1x1－12k1+t，T12，t，

可得|TA|=1+k21x1－12.

同理可得|TB|=1+k21x2－12.

所以|TA||TB|=（1+k21）x1－12x2－12=（1+k21）（12+t2）k21－16.

设直线PQ的方程为y=k2x－12+t，P（x3，y3），Q（x4，y4），且x4gt;x3gt;12.

同理可得|TP||TQ|=（1+k22）（12+t2）k22－16.

又|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

则1+k21k21－16=1+k22k22－16，化简可得k21=k22.又k1≠k2，则k1+k2=0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

评析：该方法在通性通法的基础上优化了运算，利用双根整体处理问题，通过赋值的方法使得运算量大大减少，依然是一种通性通法.事实上，本解法与常规解法具有异曲同工之妙，只是细节不同，方程的代换和化简是一个难点，学生比较难想到，而学生掌握这种方法的意义在于能利用该方法处理其他题型.不难发现，“点乘双根法”在解决解析几何中涉及数量积（点乘）或者消参后求另一变量的乘积时，有着巨大的威力，能使问题得到有效的解决，通过合理的赋值，使计算变得极为简单，极大地提高了解题效率.